1.10

1.10. ВТОРОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ

Ранее рассматривались понятия последовательности (как функции натурального аргумента), предела последовательности (см. разд. 1.3, 1.4).

Рассмотрим возрастающую последовательность: a1,a2,...,an,... Для нееan+1>an для любого

натурального n. Если эта последовательность не является ограниченной, то она не имеет предела, так как ее члены неограниченно возрастают. Если же возрастающая последовательность ограничена, то она имеет предел. Этот факт доказывается в полных курсах математического анализа [6], мы приведем лишь его полную формулировку.

Теорема 1 (достаточный признак существования предела последовательности)

Всякая возрастающая ограниченная сверху последовательность имеет предел.

Теорема 2 (второй замечательный предел)

Существует предел .

Последовательность возрастает и ограничена сверху, по теореме 1 существует

предел, этот предел называют неперовым числоми обозначают через e. Итак,

Так как 2 < an < 3, то 2 < an ≤ 3, т.е. 2 < e ≤ 3. Это число eиррациональное и e ≈2,718282.

Число e широко используется как основание для показательной функцииy=ex (экспонента) и как основание для логарифмов logex=lnx (натуральные логарифмы).

http://edu.imef.ru/personal/student_zievpo-00516_14/_layouts/efficientelrext/E-LearningContent/packId_112/lasgnId_81992/110_vtoroj_zamechat… 1/2

отрезке [-1,0] (подумайте почему?). Ее область определения (–∞ , –1)U(0, +∞ ).

Известно, что . Нетрудно показать, что Все записанные пределы объединяются одним названием второго замечательного предела.

Рассмотрим применение второго замечательного предела для вычисления некоторых пределов.

Пример. Найти

Решение. Обозначим: . Если n→∞ , то m→∞ и мы получим:

.

http://edu.imef.ru/personal/student_zievpo-00516_14/_layouts/efficientelrext/E-LearningContent/packId_112/lasgnId_81992/110_vtoroj_zamechat… 2/2