1.12. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ

1.12. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ. ТОЧКИ РАЗРЫВА

Пусть функция f(x) определена в точке x0 и некоторой ее окрестности. Если существует

, то функция f(x) называется непрерывной в точке x0,

а x0 называется точкой непрерывности функции f(x).

На языке логики равенство описывается формулой:

Используя понятия односторонних пределов, можно перефразировать определение так: функция называется непрерывной в точке x0, если она определена в точке x0 и некоторой ее

окрестности, если существуюти

Иногда приходится рассматривать непрерывность функции в точке x0справа или слева. Пусть функция определена в точке x0 и некоторой ее левой полуокрестности.

Если , то говорят, что f(x) непрерывна в точке x0 слева.

Аналогично определяется непрерывность справа.

Пример 1. Функция f(x) = x3 определена на R.

Покажем, что f(x) непрерывна в точке x0 = 2.

Действительно, , значит, f(x) = x3 непрерывна в точке x0 = 2.

Пример 2. .

Покажем, что f(x) непрерывна в точке x0 = 0:

.

Так как , то непрерывность функции f(x) в точкеx0 = 0 доказана.

Дадим определение точек разрыва.

Пусть f(x) определена в окрестности точки x0, но может быть не определена в x0.

Точка x0 называется точкой разрыва для функции f(x), если в точке x0функция f(x) не определена, или не существует, или .

http://edu.imef.ru/personal/student_zievpo-00516_14/_layouts/efficientelrext/E-LearningContent/packId_112/lasgnId_81992/112_nepreryvnost_fu… 1/3

Пример 3. Функция не определена в точке x0 = 0, но определена в любой окрестности этой точки, поэтому x0 = 0 является точкой разрыва для f(x).

Пример 4. Функция не определена в точке x0 = 3, x0 = 3 – точка разрыва для f(x).

Пример 5. Пусть E(x) = «целая часть числа x», т.е. E(x) равно наибольшему целому числу, не

превосходящему x0. Так и т.д. График y = E(x) представлен на рис. 1.14.

Для x0 = 2: E(2) = 2, .

Так как , то E(x) в точке x0 = 2 имеет разрыв, как и в любой другой целочисленной точке. Различают точки разрыва первого рода и второго рода.

Точка разрыва x0 для функции f(x) называется точкой разрыва первого рода, если существуют

(конечные) пределы: . В противном случае x0 – точка разрыва второго рода. В примере 5 точка x0= 2 является точкой разрыва первого рода, так как существуют

.

Точка x0 разрыва первого рода, для которой , называется точкой устранимого разрыва. Такой является точка x0 в примере 3. Если рассмотреть функцию

, то φ(x) непрерывна в точке x0 = 0, так как

. Доопределив функцию в точке x0 = 0, мы устранили

http://edu.imef.ru/personal/student_zievpo-00516_14/_layouts/efficientelrext/E-LearningContent/packId_112/lasgnId_81992/112_nepreryvnost_fu… 2/3

разрыв.

Рассмотрим операции над непрерывными функциями.

Теорема 1. Если функции f1(x) и f2(x) непрерывны в точке x0, то их сумма и произведение

также непрерывны в точке x0. Если, кроме того,f2(x0) ≠0, то частное также непрерывно в точке x0.

Теорема 2. Если функция u = φ(x) непрерывна в точке x0, а функция y = f(u) непрерывна в точке u0 = φ(x0), то сложная функция y = f(φ(x)) непрерывна в точке x0.

Установим непрерывность некоторых элементарных функций:

1.Всякая постоянная функция y = C непрерывна в каждой точке x0R, так как .

2.Функция y = x непрерывна в любой точке x0, так как . Тогда функция y = Cxn, где n N, непрерывна на всей числовой оси, как произведение непрерывных функций.

3.Любой многочлен: y = a0 + a1x + a2x2 + ...+ anxn, непрерывен в каждой точке числовой оси, как сумма непрерывных функций.

4.Всякая рациональная дробь, являющаяся отношением двух многочленов , непрерывна во всех точках, в которых многочлен Q(x) не обращается в 0.

5.Функция y = sinx, y = cosx непрерывны в точке x0 = 0, так как

Теорема 3. Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

Если функция f(x) непрерывна в каждой точке интервала (a, b), то говорят, что f(x) непрерывна на интервале (a, b).

Пример 6. Функция непрерывна на интервалах (–∞, 3) и (3, +∞), так как при x0≠ 3: .

http://edu.imef.ru/personal/student_zievpo-00516_14/_layouts/efficientelrext/E-LearningContent/packId_112/lasgnId_81992/112_nepreryvnost_fu… 3/3