1.11. СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ФУНКЦИЙ

2.10.2014 1.11. СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ФУНКЦИЙ. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ - Математический ана…

1.11. СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ФУНКЦИЙ. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ

Пусть a(x) и b(x) – б.м. функции при x → a (x→ + ∞, x → –∞, x → x0, ...). Рассмотрим предел их отношения при x → a.

1.Если и b – конечное число, b ≠ 0, то функции α(x), β(x) называются бесконечно малыми одного порядка малости приx → a.

2.Если , то α(x) называют бесконечно малой высшего порядка, чем β(x)

при x → a. Очевидно, в этом случае .

3.Если α(x) – б.м. высшего порядка, чем β(x), и (b – конечное число, k

N), то α(x) называют бесконечно малой k-го порядка, по сравнению с β(x) при x → a.

Пример 1. α(x) = (1 – x)3, β(x) = 1 – x3.

Очевидно, что при x→1 функции α(x), β(x) являются б.м. Для их сравнения найдем предел их отношения при x →1:

Вывод: α(x) является б.м. высшего порядка, по сравнению с β(x) при x →1.

Нетрудно убедиться, что (убедитесь!), откуда следует, что α(x) – б.м. 3-го порядка малости, по сравнению с β(x) при x → 1.

Пример 2. Функции α1(x) = 4x, α2(x) = x2, α3(x) = sinx, α4(x) = tgxявляются бесконечно малыми при x→0. Сравним их:

Отсюда заключаем, что α2(x) = x2 – б.м. высшего порядка, по сравнению с α1(x) и α3(x)

(при x → 0), α1(x) и α3(x) – б.м. одного порядка, α3(x) и α4(x) – эквивалентные б.м., т.е. sinx ~ tgx при x → 0.

http://edu.imef.ru/personal/student_zievpo-00516_14/_layouts/efficientelrext/E-LearningContent/packId_112/lasgnId_81992/111_sravnenie_besko… 1/2

2.10.2014 1.11. СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ФУНКЦИЙ. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ - Математический ана…

Теорема 1. Пусть α(x) ~ α1(x), β(x) ~ b1(x) при x → a. Если существует , то

существует и .

Эта теорема позволяет упрощать нахождение пределов.

Пример 3. Найти .

В силу первого замечательного предела sin4x ~ 4x, tg3x ~ 3x при x→0, поэтому

Теорема 2. Бесконечно малые функции α(x) и β(x) эквивалентны (приx → a) тогда и только тогда, когда α(x) - β(x) является б.м. высшего порядка, по сравнению с α(x) и β(x) (при x → a).

Теорема 3. Сумма конечного числа бесконечно малых различных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.

Пример 4. Найти .

По теореме 3 при x →0: 4x + 2x3 ~ 4x , sin2x + 3tg5x + x3 ~ 3tg5x, тогда

.

http://edu.imef.ru/personal/student_zievpo-00516_14/_layouts/efficientelrext/E-LearningContent/packId_112/lasgnId_81992/111_sravnenie_besko… 2/2