1) Төменгі және жоғарғы интегралдық қосындылар

1. Тіктөртбұрыш бөлшектеуі

2. Төменгі және жоғарғы интегралдық қосындылар.

3. Қасиеттері (біреуі дәлелдеуімен)

1. Тіктөртбұрыш бөлшектеуі. тік­төрт­бұрышы мен оның кесіндісініңнүктелері арқылы бөлінгенбөлшектеуі жәнекесіндісініңнүктелері арқылыбөлшектеуі берілсін. Сонда А тіктөрбұрышыдербес,,, тіктөртбұрыштарына бөлінеді. А тіктөрбұрышының осылай бөліктеуінарқылы белгілейміз. Егерарқылы А тіктөрт­бұрышының ауданын белгілесек, онда(мұндағы) және, өйткені

А тіктөрбұрышының Р бөліктеуін құрайтын жәнебөлшектеулерінің ең үлкенінбөлшектеуінің диаметрі деп атаймыз да, оныар­қылы белгілейміз. Сонымен.

Төменгі және жоғарғы интегралдық қосындылар. А тіктөрбұры­шында шектелген функциясы берілсін, яғниболсын. А тіктөртбұрышыныңбөліктеуіне сәйкестіктөртбұрышындағы функциясыныңменмәндерін сәйкес арқылы белгілейік, яғни Сонда бұлардың көмегімен түзілгенқосындыларын сейкес Риманның жоғарғы, төменгі қосындылары деп атайды. Олардың мынадай екі қасиетін атап өтейік.1-қасиет.Егер А тіктөртбұрышында (I) орындалса, онда

Анықтама: [a,b] кесіндісінде y= f(x) функциясы берілсін. [a,b] кесіндісін кез –келген

нүктелерімен бөліктерге бөлеміз. Әрбір [x_i-1,x_i] бөліктен қалауымызша

, нүктелерін алып, интегралдық қосынды деп аталатын

S

қосындысын құрамыз. белгілейміз.Егер lim S_n(f) шек бар болса, онда оны f(x) функциясының [a,b] кесіндісіндегі анықталған интегралы (Риман интегралы ) деп атайды да, былай жазады:

f(x)dx=lim (1)

0

Мұндағы а мен b сандарын анықталған интегралдың сәйкес төменгі және жоғарғы шегі деп атайды. f(x) функциясы [a,b] кесіндісінде шектелген болсын. Онда m_i = inf f(x), M_i = sup f(x) белгілер енгізіп мынадай қос

қосындыларды құрайық: s=, S=,

мұндағы s және S қосындыларын Дарбудың сәйкес төменгі және жоғарғы қосындысы деп атайды.

Егер f(x) функциясы [a,b] үзіліссіз болса, онда Дарбу қосындылары интегралдық қосындылардың ең үлкені және ең кішісі болады.

Сонымен, s

1 –теорема. [a,b] шектелген f(x) функциясының осы кесіндіде интегралдануы үшін lim(S-s)=0 шартының орындалуы қажетті және

жеткілікті.

Қасиеттері Айталық жазықтығының шектелген жиыны болсын.жиынын ұстайтын, яғниболатындайтіктөртбұрышын алайық. Егерфункциясыжиынында анықталған болса, ондафункциясын енгіземіз.Егерфункциясытіктөртбұрышында интегралданса,ондафункциясынжиынында интегралданады деп айтамыз.Сонымен,функциясыныңжиыны бойынша Риман интегралытеңдігі арқылы анықталады.Екі еселі интегралдың төмендегі келтірілген қасиеттері тура бір айныма­лы­ның функциясының Риман интегралының сәйкес қасиеттеріндегідей дәлелденеді.

I. Егер функциясыжәнежиындарында интегралданса және

Øболса, онда бұл функция жиынында да интегралданады әрі

II. Егер функциясыжиынында интегралданса, онда(мұндағы) функциясы дажиынында интегралданады әріIII. Егержәнефункцияларыжиынында интегралданса, онда олардың алгебралық қосындысы осыжиынында интегралданады әрі

IV. Егер жәнефункцияларыжиынында интегралданса, онда олардың көбейтіндісі де осыжиынында интегралданады.V. Егержиынында интегралданатынжәнефункциялары осы жиындатеңсіздігін қанағаттандырса, ондаVI. Егерфункциясыжиынында интегралданса, ондафунк­циясы да осы жиында интегралданады әріVII. Орта мән туралы теорема. Егер жәнефункцияларыжиынында интегралданса әрі барлық үшінболса, онда

теңдігін қанағаттандыратын кесіндісіненсаны табылады.