5) Үш еселі интеграл

1. Үш еселі интеграл анықтамасы.

2. Қасиеттері (біреуі дәлелдеуімен).

3. Үш еселі интегралды қайталама жай интегралға келтіру.

Кеңістіктегі кубтелетін V аймағында үзіліссіз функциясы берілсін. V аймағын көлемдеріболатын n бөліктерге бөлшектейміз. V аймағы және элементароблыстардың көлемдері де солай белгіленеді деп ұйғарайық. Әрбір бөлікбойынан қалауымызша кез келгеннүктесін алып, бұл нүктедегі берілгенфункциясыныңмәнінкөлеміне көбейтеміз де, қосынды

(8.9)

құрастырып, оны интегралдық қосынды деп атаймыз. бөліктің диаметрін, ал диаметрлерінің ең үлкеніндеп белгілеп,интегралдық қосындысының шегін қарастырайық.

Анықтама Егер ұмтылғанда (8.9) интегралдық қосындының шегі бар болып және ол шек V аймағынбөліктерге бөлшектеу тәсілінен де, олардың әрбіреуіненнүктесін қалап алу әдісінен де тәуелсіз болса, онда бұл шекфункциясының V аймағы бойынша алынған үш еселі интеграл деп аталады да, былай белгіленеді:

Теорема 1) Тұйық, шенелген, кубтелетін V аймағында үзіліссіз әрбір функция осы V аймағы бойынша интегралданады. 2) Тұйық, шенелген, кубтелетін V аймағындағы көлемі нөлге тең қандайда болмасын бір жиынның нүктелерінен тыс жерде үзіліссізфункция осы аймақ бойынша интегралданады.

Үш еселі интегралдың негізгі қасиеттері:

1) Егер с – тұрақты, ал функциясы V аймағында интегралданса, ондакөбейтіндісі де интегралданады және мына теңдік орындалады

2) Егер V аймағында функцияларының әрқайсысы интегралданса, олардың алгебралық қосындысы да V аймағында интегралданады және мына теңдік орындалады:

3) Егер V аймағында интегралданатын функция болса, онда

болады.

4) Егер функция ортақ ішкі нүктелері жоқ V₁ және V₂ аймақтарында интегралданса, онда осы аймақтардың біріктірмесі болатын V аймағында да интегралданады және мына теңдік орындалады.

.

5) V аймағында пенфункцияларының әрқайсысы интегралданатын болып және олардың арасындатеңсіздігі орындалса, онда

.

6) Егер функциясының абсолют шамасыV аймағында интегралданса, онда функцияның өзіде осы аймақта интегралданады және

теңсіздігі орындалады.

7) V аймағында интегралданатын функциясы осы аймақтатеңсіздігін қанағаттандырса, онда

теңсіздігі орындалады.

Үш еселі интегралды қайталама жай интегралға келтіру

6) Үш еселі интегралда айнымалыларды алмастыру

1. Үш еселі интегралда цилидрлік координаттарға көшу (формуласын жазу).

2. Үш еселі интегралда сфералық координаттарға көшу (қорытуымен).

Декарттық координаттар жүйесінде нүктесі беріліп, оның Оху жазықтығындағы проекциясы М₁ нүктесі болсын. М нүктесі оның аппликатасы z және М₁ өзінің полярлық кординаттары менарқылы анықталса, ондашамалары М нүктесінің цилиндрлік координаттары болады. М нүктесінің декарттық және цилиндрлік координаттарының арасындағы байланыс мына формулалармен анықталады (10-сурет):

10-сурет

координаттарын координаталарымен ауыстыру якобианы:

болады. Сондықтан үш еселі интегралда айнымалыларды ауыстыру мына формула арқылы орындалады:

.

Үш еселі интегралда сфералық координаттарға көшу

(қорытуымен)

Оxyz кеңістігінде М нүктесінің орнын:

а) О нүктесінен М нүктесіне дейінгі қашықтық ;

б) ОМ кесіндісі мен Оz өсінің оң бағыты арасындағы бұрыш ;

в) ОМ кесіндінің Оху жазықтығындағы проекциясы ОМ₁ мен Ох өсінің оң бағыты арасындағы бұрыш арқылы анықтасақ, онда осышамалары М нүктесінің сфералық координаттары болады.М нүктесінің декарттық және сфералық координаттар арасындағы