Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казахский национальный университет им. аль-Фараби

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1-Limits(1)[1]

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.03.2015

Размер:

795.24 Кб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

§ 1.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

1) Понятия числовой последовательности и ее предела. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности.

2) Понятие предела функции в точке. Понятие функции, ограниченной в окрестности точки. Теорема об ограниченности функции, имеющей предел.

3) Теорема о переходе к пределу в неравенствах.

4) Теорема о пределе промежуточной функции.

5) Понятие непрерывности функции. Доказать непрерывность функции cos x

6) Первый замечательный предел lim	sin x	1
	x
x 0

7)Понятие бесконечно малой функции. Теорема о связи между функцией, ее пределом и бесконечно

малой.

8)Теорема о сумме бесконечно малых функций.

9)Теорема о произведении бесконечно малой функции на ограниченную функцию.

10)Теорема об отношении бесконечно малой функции к функции, имеющей предел, отличный от

нуля.

11)Теорема о пределе суммы.

12)Теорема о пределе произведения.

13)Теорема о пределе частного.

14)Теорема о переходе к пределу под знаком непрерывной функции.

15)Непрерывность суммы, произведения и частного.

16)Непрерывность сложной функции.

17)Понятие бесконечно большой функции. Теоремы о связи бесконечно больших функций с бесконечно малыми.

18)Сравнение бесконечно малых функций.

19)Эквивалентные бесконечно малые функции. Теорема о замене бесконечно милых функций эквивалентными.

20)Условие эквивалентности бесконечно малых функций.

§ 1.2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ

Доказать, что если lim an a , то lim

Вытекает ли из существования lim

существование lim an ?

Указание. Доказать и использовать неравенство

b a

Доказать, что последовательность n2 расходится.

Сформулировать на языке « » утверждение: «Число А не является пределом в точке x0 функции

f (x) , определенной в окрестности точки x0 ».

4)Доказать, что если непрерывная f (x) функция, то F(x) f (x) есть также непрерывная

функция. Верно ли обратное утверждение?

5) Сформулировать на языке « » утверждение:

«Функция f (x) , определенная в окрестности точки x0 , не является непрерывной в этой точке».

6) Пусть lim f (x) 0 ,	,	а	lim (x)	не существует. Доказать что lim f (x) (x) не существует.
x x0	,		x x0	x x0

Указание. Допустить противное и использовать теорему о пределе частного.

7) Пусть функция f (x) имеет предел в точке x0 . а функция (x) не имеет предела. Будут ли

существовать пределы:

а) lim ( f (x) (x)) ;

x x0

б) lim f (x) (x) ?

x x0

Рассмотреть пример: lim x sin

x 0

8) Пусть lim f (x) 0 , а функция (x) бесконечно большая при

x x0 . Доказать, что

x x0

произведение f (x)(x) является бесконечно большой функцией при

x x0

9) Является ли бесконечно большой при x 0

функция

cos

10) Пусть ' (x) (x) и

' (x) (x) при x x

Доказать, что если lim

' (x)

не существует, то lim

(x)

тоже не существует.

' (x)

(x)

x x0

§ 1.3. РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ

Задача 1. Доказать, что lim an a (указать N ( ) ).

1.	an	3n 2		, a		3		.			6.	a			4n2 1							, a	4		.
		2n 1				2							n		4n2 1								4

															3n2 2						3
															3n2 2						3
2.	an	4n 1		, a 2.											9 n			3						1
															9 n									1

		2n 1									7.	an		1 2n					3		, a .
											7.	an									, a .
																								2
																								2
		7n 4				7									4n 3
3.	an				, a					.	8.	an			4n 3					, a 2.
3.	an	2n 1			, a					.
						2									2n 1
						2

4.	an	2n 5		, a			2		.						1 2n2											1
4.	an			, a					.		9.	an			1 2n2							, a				1	.
		3n 1				3					9.	an		2		4n				2		, a				2	.
		3n 1				3								2		4n				2						2
5.	an	7n 1	, a 7.														5n
5.	an	n 1	, a 7.								10. an						5n					, a 5.
		n 1									10. an											, a 5.
																	n 1

11.an

12.an

13.an

14.an

15.an

16.an

17.an

18.an

19.an

20.an

21.an

n 1	, a		1	.
1 2n			2

2n 1	, a	2	.
3n 5		3

1 2n2 , a 2. n2 3

3n2 , a 3.

2 n2

n	, a	1	.
3n 1
		3

3n3 , a 3. n3 1

4 2n , a 2 . 1 3n 3

5n 15 , a 5.

6 n

3 n2			, a				1		.
4 2n		2	, a				2		.
4 2n		2					2
2n 1		, a				2		.
2 3n		, a						.
2 3n				3
3n 1	, a			3	.
5n 1	, a			5	.
5n 1				5

22.an

23.an

24.an

25.an

26.an

27.an

28.an

29.an

30.an

31.an

4n 3 , a 2.

2n 1

1 2n2 , a 1 . 2 4n2 2


	5n 1			, a	1		.
10n 3
				2
	2 2n		, a			1		.
	3 4n
				2
	23	4n		, a 4.
2		n

1 3n , a 3.

6 n

2n 3 , a 2. n 5

3n2 2 , a 3 . 4n2 1 4

2 3n	2	, a	3	.

4 5n	2		5
4 5n	2		5
2n3	, a 2.
n3 2	, a 2.
n3 2

Задача 2. Вычислить пределы числовых последовательностей.

lim

(3 n)2

lim

(3 n)4

(2 n)

n)2

(3 n)2

(1 n)3

n (3

n (1 n)3

lim

(3 n)4

(2 n)4

lim

(1 n)4

n)4

(1 n)4

(1 n)3

n (1

n (1 n)3

5. lim

(6 n)2 (6 n)

19.

lim

n (6 n)2 (1 n)2

6. lim

(n 1)3 (n 1)2

20.

lim

(n 1)3

n (n 1)3

7. lim

(1 2n)3

8n3

21.

lim

4n2

n (1 2n)2

8. lim

(3 4n)2

22.

lim

(n 3)3

n (n 3)3

9. lim

(3 n)3

23.

lim

(n 1)3

n (n 1)2

10.

lim

(n 1)2

(n 1)2 (n 2)

24. lim

(4 n)3

11.

lim

2(n 1)2 (n 2)3

25. lim

n2 2n 3

12.

lim

(n 1)3 (n 2)3

26. lim

(n 4)

(n 5)

13.

lim

(n 3)3 (n 4)3

27. lim

(n 3)

(n 4)

14.

lim

(n 1)4

(n 1)

28.

lim

(n 1)3

15.

lim

8n3 2n

29.

lim

(n 1)4

16.

lim

(n 6)3

(n 1)3

30.

lim

(2n 3)

2 (n 4)

17.

lim

(2n 3)3 (n 5)

31.

lim

(3n 1)3

(2n 3)3

18.

lim

(n 10)2

(3n 1)

(n 6)

3 (n 1)3

Задача 3. Вычислить пределы числовых последовательностей.

(2n 1)3 (3n 2)3 . (2n 3)3 (n 7)3

(n 7)3 (n 2)3			.
(3n 2)2	(4n 1)	2
(2n 1)3	(2n 3)	3	.
(2n 1)2	(2n 3)	2

n3 (n 1)3 . (n 1)4 n4

(n 2)4 (n 2)4 . (n 5)2 (n 5)2

(n 1)4 (n 1)4 . (n 1)3 (n 1)3

(n 1)3 (n 1)3 . (n 1)2 (n 1)2

(n 2)3 (n 2)3 . n4 2n2 1

(n 1)3 (n 1)2 . n3 3n

(n 1)3 (n 1)3 . n3 1

(n 2)2 (n 2)2 . (n 3)2

(2n 1)2 (n 1)3 . n2 n 1

lim

n3 5n2 4 9n8 1

n) 7 n n2

n2 1

lim

n 1

3 3n3 3 4 n5 1

3. lim

4. lim

	n3
	n3		1	n 1		.

3	n3
3	n3		1	n 1

3		n	2 1 7n3
					.


4	n12 n 1 n


5. lim	3n 1 3	125n3 n	.
		n
	3 n
n	3 n

6. lim n5 n 3 125n3 n . n (n 4n )9 n2

7. lim n 2 n2 2 . n 44n4 1 3 n4 1

8. lim n4 2 n 2 . n 4n4 2 n 2

9. lim

6n3

n5 1

3 n

10. lim

5n 2 5 8n3 5

n 7 n

11. lim

3n 1 81n4 n2 1

(n 3 n ) 5 n n2

12.

lim

n 3

3 n5 4 4 n4 1

n3 3

13.

lim

n 3

5 n5 3 n 3

14.

lim

3 n 9n2

3n 4 9n8 1

3 27n3 4

15.

lim

4n 1

4 n 3

n5 n

16.

lim

n3 7n 4 81n8 1

(n 4 n) n2 5

17.

lim

3 n3 7

3 n

2 4

4 n5 5

18.

lim

n 4

5 n6 6 n 6

19.

lim

4n2

3 n6 n3 1 5n

8n3 3

20.

lim

n 3 3

4 n 4 5 n5 5

4 81

21.

lim

n4 11n

25n

n 7

n2 n 1

22.

lim

n2 5

n 1

23.

lim

n 5

7 n7 5 n 5

24.

lim

2 5n2

n n

n 1

n3 2

25.

lim

n 2 3

7 n 2 5 n5 2

6 9

26.

lim

71n 3

64n

n 3

11 n2

n2 5

27.

lim

n 6

3 n3 3 4 n3 1

n8 6

28.

lim

n 6

8 n8 6 n 6

29.

lim

n3 1

2 n

30.

lim

n 1 3 n3 1

31. lim

n6 n 5 32n10 1

n 4

3 n3 1

n 4 n 1 5 n5 1

Задача 4. Вычислить пределы числовых последовательностей.

lim n(

n2 1

n2 1) .

n2 3) .

lim n(

n(n 2)

lim(n 3 n3 5)n

n) .

lim(

(n2 1)(n2 4)

n4 9) .

lim

n5 8 n n(n2 5))

lim(

n2 3n 2 n) .

lim(n 3 4 n3 ) .

n2 2n 3) .

lim(

n(n 2)

lim(

(n 2)(n 1)

(n 1)(n 3)) .

10.

lim n2 (

n(n4 1)

8) .

11.

lim n(3

5 8n3

2n) .

12.

lim n2 (3 5 n3

3 n3 ) .

13.

lim(3 (n 2)2

(n 3)2 ) .

(n 1)3

lim

n(n 1)(n 3)

14.

15.

lim(

n2 3n 2

3) .

16.

lim

n( n 2

n 3) .

lim

n(n5 9)

(n4 1)(n2 5)

17.

18.

lim(

n(n 5) n) .

19.

lim

n3 8(

n3 2

n3 1) .

1 n2 3

20.

lim

n n4 2

2 n

21.

lim(

(n2 1)(n2

(n2 1)(n2 2)) .

lim

(n5

1)(n2 1)

n(n4 1)

22.

23.

lim

(n4

1)(n2 1)

n6 1

24.

lim(n

n(n 1)) .

25.

lim n3

n2 (n6 4) 3 (n8 1)) .

26.

lim(n

n(n 1)(n 2)) .

27.

lim 3

n(3

3 n(n 1)) .

28.

lim

n 2(

n 3

n 4) .

29.

lim n(

n4 3

2) .

n3 2) .

30.

lim n(n 1)(n 2)(

lim

(n2

5)(n4

n6 3n3 5

31.

Задача 5. Вычислить пределы числовых последовательностей.

1.	lim(			1				2				3		...			n 1			).
1.	lim(			n2				n2				n2		...						).
	n			n2				n2				n2					n2
2.	lim		(2n 1)! (2n 2)!													.
2.	lim															.
	n					(2n 3)!
				1 3 5 7 ... (2n 1)																	2n 1
3.	lim																					.
3.	lim											n 1										.
	n											n 1									2
			2n 1 3n 1
4.	lim										.
4.	lim				2n	3n					.
	n				2n	3n
5.	lim	1 2					3 ...						n		.


	n						9n		4	1
							9n			1
6.	lim		1 3 5 ... (2n 1)															.
6.	lim																	.
	n				1 2 3 ... n
				1 3 5 ... (2n 1)
7.	lim																		n .
7.	lim									n 3									n .
	n									n 3

8.	lim		1 4												7 ... (3n 2)																		.
																																	.

	n														5n		4		n 1
															5n				n 1
9.	lim			(n 4)! (n 2)!																					.
9.	lim																								.
	n											(n 3)!
10.		lim						(3n 1)! (3n 1)!																					.
10.		lim																											.
		n									(3n!)(n 1)
11.		lim							2n 5n 1										.
11.		lim						2n 1 5n 2											.
		n						2n 1 5n 2
					1							1				1			...									1
12.		lim			1						3					32			...								3n				.
											3					32											3n
												1				1
		n 1										1				1			...									1
		n 1									5					52			...								5n
											5					52											5n
13.		lim					1 3 5 7 9 11 ... (4n 3) (4n 1)																																						.
		lim																																											.

		n																			n			2	1											n		2	n	1
																					n				1											n			n	1
14.		lim						1 2 3 4 ... (2n 1) 2n																																		.
14.		lim																																								.
		n																						n

15.		lim							3 n3 5 3n4 2																										.
15.		lim																																	.
		n			1 3 5 ... (2n 1)
16.		lim							3n 2n									.
16.		lim						3n 1 2n										.
		n						3n 1 2n
															n 2															2
17.		lim																														.
17.		lim								2 3 ... n																						.
		n 1								2 3 ... n																				3
									5				13						...				3n					2n
18.		lim(																																).
18.		lim(							6				36													6n								).
		n							6				36													6n
19.		lim						2 5 4 7 ... 2n (2n 3)																																			.
19.		lim																																									.
		n																				n 3
20.		lim						(2n 1)! (2n 2)!																						.
20.		lim																												.
		n						(2n 3)! (2n 2)!
21.		lim				1 2 ... n															.
21.		lim																			.
		n							n n2							3
															n2
22.		lim													n2						n 1																.
22.		lim																																			.
		n						2 7 12 ... (5n 3)
23.		lim(							3					5					9		...									1 2n									).

									4				16						64													4n
		n							4				16						64													4n
24.		lim									2 4 6 ...2n																								.


		n			1 3 5 ... (2n 1)
					1 5 9 13 ... (4n 3)																																				4n 1
25.		lim																																										.
25.		lim																		n 1																								.
		n																		n 1																					2

26.	lim		1 2 3 4 ... 2n									.
	lim											.

	n					3	n3 2n 2
27.	lim				2n	7n		.
27.	lim			2n		7n 1		.
	n			2n		7n 1
28.	lim				n! (n 2)!				.


	n			(n 1)! (n 2)!
29.	lim			3 6 9 ... 3n							.
29.	lim										.
	n						n2 4
30.	lim(				7		29	...		2n 5n			).
30.	lim(							...			10n		).
	n	10					100				10n
		2 4 ... 2n
31.	lim								n .
31.	lim						n 3		n .
	n						n 3

Задача 6. Вычислить пределы числовых последовательностей.

n 1 n 1. lim .

n n 1

2n 3 n 1 2. lim .

n 2n 1

		n2					1 n4
3.	lim											.
3.	lim						2					.
	n				n		2
					n

		n 1 n 2
4.	lim										.
4.	lim										.
	n n 3
			2n2 2											n2
5.	lim													.
5.	lim						2							.
			2n				2			1
	n		2n							1
			3n2 6n 7													n 1
6.	lim															.
6.	lim					2										.
			3n			2			20n 1
	n		3n						20n 1
		n2 3n 6													n / 2
7.	lim														.
7.	lim				2										.
					2						5n 1
	n n										5n 1
		n 10 3n 1
8.	lim											.
8.	lim											.
	n			n 1
			6n 7											3n 2
9.	lim												.
9.	lim		6n										.
	n		6n								4
				3n2							4n 1					2n 5
10. lim																.
10. lim								2								.
				3n				2			2n 7
	n			3n							2n 7

	n2		n 1		n2
11.	lim			.
		2
			n 1
	n n

		2n2 5n 7								n
12.	lim									.
12.	lim			2						.
		2n		2				5n 3
	n	2n						5n 3
	n 1 n2
13.	lim					.
13.	lim					.
	n n				1
		5n2 3n 1								n
14.	lim									.
14.	lim			2						.
		5n		2				3n 3
	n	5n						3n 3
		3n 1							2n 3
15.	lim							.
15.	lim							.
	n	3n 1
		2n2 7n 1									n3
16.	lim									.
16.	lim			2						.
		2n		2				3n 1
	n	2n						3n 1
	n 3 n 4
17.	lim						.
17.	lim						.
	n n				5
	n3 1								2n n3
18.	lim								.
18.	lim		3						.
			3	1
	n n			1
		2n2 21n 7									2n 1
19.	lim										.
19.	lim			2							.
		2n		2				18n 9
	n	2n						18n 9
		10n 3 5n
20.	lim								.
20.	lim								.
	n	10n 1

			3n2 5n						n 1
21.	lim								.
21.	lim			2					.
		3n		2	5n 7
	n	3n			5n 7
	n 3 n2
22.	lim					.
22.	lim					.
	n n				1
	n2			6n 5					3n 2
23.	lim							.
23.	lim		2					.
			2	5n 5
	n n			5n 5
	n 4 n
24.	lim					.
24.	lim					.
	n n				2
		7n		2 18n 15						n 2
25.	lim									.
25.	lim			2						.
		7n		2	11n 15
	n	7n			11n 15
	2n 1 n 1
26.	lim						.
26.	lim						.
	n 2n			1

Задача 7 . Доказать (найти ( ) ), что:

lim

2x2 5x 3

x 3

lim

5x2

4x 1

x 1

lim

3x2 5x 2

x 2

lim

4x2

14x 6

10.

x 3

lim

6x2 x 1

x 1/ 2

lim

6x2 x 1

x 1/ 2

lim

9x2 1

1/ 3

x 1/ 3

lim

3x2

5x 2

x 2

lim

3x2 2x 1

x 1/ 3

10. lim

7x2 8x 1

x 1

11. lim

4x 3

x 3

		n3 n 1 2n2
27.	lim							.
27.	lim			3				.
	n		n	3		2
			n			2

			13n 3				n 3
28.	lim						.
28.	lim						.
	n		13n 10
			2n2 2n 3							3n2 7
29.	lim									.
29.	lim			2						.
			2n	2		2n 1
	n		2n			2n 1
		n 5 n / 6 1
30.	lim						.
30.	lim						.
	n n				7
			4n2 4n 1						1 2n
31.	lim								.
31.	lim			2					.
			4n	2		2n 3
	n		4n			2n 3


12.	lim				2x			2 3x 2				5.
12.	lim							x 1/ 2				5.
	x 1/ 2							x 1/ 2
13.	lim				6x			2 5x `		1.
13.	lim						x 1/ 3			1.
	x 1/ 3						x 1/ 3
14.	lim					10x2 9x 7								19.
14.	lim							x 7 / 5						19.
	x 7 / 5							x 7 / 5
15.	lim						2x2 13x 21											1	.
15.	lim							2x 7										2	.
	x 7 / 2							2x 7										2
16.	lim					2x2 9x 10										1	.
16.	lim							2x 5							2		.
	x 5 / 2							2x 5							2
17.	lim				6x			2 x 1	5.
17.	lim						x 1/ 3		5.
	x 1/ 3						x 1/ 3
18.	lim						6x2 75x 39									81.
18.	lim							x 1/ 2								81.
	x 1/ 2							x 1/ 2
19.	lim		2x2					21x 11					23.
19.	lim							x 11					23.
	x 11							x 11
20.	lim	5x2						24x 5				26.
20.	lim							x 5				26.
	x 5							x 5
21.	lim			2x2 15x 7									13.
21.	lim							x 7					13.
	x 7							x 7
22.	lim			2x2 6x 8							10.
22.	lim							x 4			10.
	x 4							x 4

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.03.201571.16 Кб541-19_EiM.docx
#
08.03.2016272.64 Кб981-30.docx
#
24.03.201526.37 Кб331-4 емтихан.docx
#
24.03.201514.54 Mб1321-5 матан.docx
#
24.03.201547.18 Кб351-6 Жулдыз Микро-макро арым .docx
#
24.03.2015795.24 Кб231-Limits(1)[1].pdf
#
08.03.201640.16 Кб221-СЖ Асыр Д..docx
#
08.03.20162.8 Mб5491. angeom_A.doc
#
08.03.2016333.71 Кб3041. Matan_A-2variant.docx
#
08.03.20162.94 Mб1991. матан.docx
#
24.03.2015275.52 Кб211.1.pdf