golunova_l_v_matematicheskie_modeli_v_transportnyh_raschetah

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Сибирский государственный индустриальный университет»

Л.В. Голунова, Т.П. Воскресенская

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ТРАНСПОРТНЫХ РАСЧЕТАХ

Рекомендовано редакционно-издательским советом вуза в качестве учебного пособия для студентов специальности 190701 − Организация перевозок и управление на транспорте (железнодорожном)

Новокузнецк

2009

УДК [519.876.5:004.94]:656 (075) Г622

Рецензенты:

кафедра математики и математического моделирования НФИ КемГУ (заведующий кафедрой доктор технических наук, профессор С.П. Казаков),

кандидат технических наук, директор Прокопьевского филиала КузГТУ

С.Г. Костюк

Г622 Математические модели в транспортных расчетах: учеб. пособие/ Л.В. Голунова, Т.П. Воскресенская – СибГИУ. – Новокузнецк, 2009. – 196 с.

Изложены основы теории вероятности, математической статистики и моделирования транспортных процессов и систем, рассмотрены вопросы применения вычислительной техники, приведены задания для самостоятельного решения.

Предназначено для студентов специальности 190701

– Организация перевозок и управление на транспорте (железнодорожном) всех форм обучения.

УДК [519.876.5:004.94]:656 (075)

© Сибирский государственный индустриальный университет, 2009

ПРЕДИСЛОВИЕ

Современный инженер должен хорошо разбираться в математических методах, уметь практически применять их для моделирования реальных технических и организационноэкономических систем. Это позволяет лучше усвоить теоретические вопросы функционирования технических систем, организации производства, способствует повышению уровня квалификации и общей профессиональной культуры специалиста. Кроме того, возможности применения математических методов моделирования существенно расширились благодаря современной вычислительной технике.

Математические модели позволяют учесть сложность технологических процессов на транспорте, элементы случайности в перевозочном процессе и благодаря системному анализу установить эффективные режимы функционирования транспортных систем. Разработка технологических процессов эксплутационных и грузовых работ, эффективная организация транспортных потоков, техническое нормирование работы транспорта и организация перевозок немыслимы без математического аппарата. Поэтому инженеру, специалисту в области перевозок на транспорте, необходимы глубокие знания не только организации и экономики перевозочного процесса, но и математики.

Основное назначение данного пособия – помочь будущим инженерам овладеть методами математического моделирования, активно применяя при этом современные информационные технологии, для их дальнейшего использования в целях

3

совершенствования организации, управления и планирования перевозочного процесса, повышения его эффективности.

Теоретическая часть пособия посвящена математическому моделированию транспортных процессов и систем. В этой части рассмотрены основы теории вероятности, вопросы обработки статистических данных, использования теории систем массового обслуживания на транспорте. Изложены методы решения задач математического программирования (линейного и динамического), сетевого планирования и управления.

В практической части рассмотрены примеры практического решения задач обработки статистических данных, линейного, динамического и сетевого моделирования в среде электронных таблиц MS Excel. Во всех примерах приведены постановка

исодержание решения, поэтому эта часть пособия является самодостаточной и может использоваться для решения подобных задач.

Для выработки у студентов навыков практической работы приведено большое количество примеров и заданий для самостоятельной работы.

Учебное пособие может быть использовано при изучении дисциплин «Исследование транспортных процессов и систем»

и«Математические модели в транспортных расчетах», предусмотренных Государственным образовательным стандартом для специальности 190701 – Организация перевозок и управление на транспорте (железнодорожном).

Авторы будут признательны читателям за высказанные замечания и пожелания, а также предложения о сотрудничестве с целью дальнейшего совершенствования учебного пособия.

4

ВВЕДЕНИЕ

Математическое моделирование как метод научного познания стало развиваться одновременно с зарождением основ высшей математики, связанных с работами Р. Декарта (1596– 1650), И. Ньютона (1643–1727), Г. Лейбница (1646–1716), П. Ферма (1601–1665), Б. Паскаля (1623–1662) и X. Гюйгенса (1629–1695).

Дальнейшее развитие элементы математического моделирования получили в трудах Я. Бернулли (1654–1705), А. де Му-

авра (1667–1754), К. Гаусса (1777–1855), П. Лапласа (1749– 1827), С. Пуассона (1781–1840), П.Л. Чебышева (1821–1894), А.А. Маркова (1856–1922), A.M. Ляпунова (1857–1918) и др.

Развитие математического моделирования в экономике и производстве в 30-40 гг. XX века в значительной мере обязано Л.В. Канторовичу, В.В. Леонтьеву, А.Н. Колмогорову, В.В. Новожилову и многим другим. Так в работах Л.В. Канторовича приведены математические методы решения задач повышения эффективности работы транспорта, определения оптимальных производственных режимов и оптимального состава смеси, рационального раскроя промышленных материалов и т. п.

На транспорте многие процессы являются массовыми и характеризуются закономерностями, которые нельзя обнаружить на основании лишь одного или нескольких наблюдений, именно поэтому моделирование транспортных процессов и систем опирается на изучение массовых явлений. Известно, что управление любой системой реализуется как процесс, подчиняю-

5

щийся определенным закономерностям, знание которых помогает определить условия, необходимые и достаточные для осуществления такого процесса. Для этого все параметры, характеризующие процесс и внешние условия, должны быть количественно определены. Сложность таких задач состоит в том, что при известных условиях из множества возможных решений необходимо выбрать одно. Простейший метод простого перебора вариантов для таких задач нереален из-за большого количества допустимых решений. Использовать классические математические методы также не всегда удаётся, так как возникает потребность в большом объеме вычислений. Поэтому необходимость решения таких задач привела к созданию новых специальных методов.

При решении конкретных задач на транспорте применение математических методов предполагает:

-обработку статистических и хронометражных данных, группировку и табличное представление данных, получение статистических распределений и их характеристик, принятие и проверку гипотезы о законе распределения случайной величины;

-использование математического аппарата для оценки явлений и процессов с характером массового обслуживания, в какой бы форме оно не протекало;

-построение математических моделей для технических и ор- ганизационно-экономических систем и задач принятия решения в сложных ситуациях или в условиях неопределенности;

-изучение взаимосвязей, определяющих впоследствии принятие решений, и установление критериев эффективности, позволяющих оценивать преимущество того или иного варианта действия.

Термин «модель» широко используется в различных сферах человеческой деятельности и имеет множество смысловых значений. Важнейшими требованиями к любой модели являются её адекватность изучаемому объекту в рамках конкретной задачи и реализуемость имеющимися средствами. Поэтому будем придерживаться следующего определения.

Модель объекта (системы, операции) – это материаль-

6

ная или идеальная (мысленно представимая) система, создаваемая и (или) используемая при решении конкретной задачи с целью получения новых знаний об объекте-оригинале, адекватная ему с точки зрения изучаемых свойств и более простая, чем оригинал, в остальных аспектах.

Процесс построения, изучения и применения моделей называется моделированием. Объект моделирования в нашем случае – это реальная транспортная система, один или несколько процессов, протекающих в ней. Для построения модели необходимо не просто выбрать объект, но и дать его описание в виде системы, то есть определить границы его взаимодействия с внешней средой, его структуру. Модели одного и того же объекта могут быть различными и отражать этот объект с разных сторон.

По форме представления различают физические, математические, иконографические и др.

Физические модели – некоторые реальные системы, в которых реализуются те или иные взаимодействия, а также части изучаемого объекта.

Иконографические модели реальных объектов выполняются в виде чертежей, схем, эскизов, рисунков и т. п., поясняющих устройство, принцип действия или наглядность изменения тех или иных параметров систем.

Математические модели – некоторые целостные математические структуры в виде алгебраических, дифференциальных и других уравнений.

Математические модели по сравнению с реальными физическими экспериментами обладают определенными преимуществами, связанными с её особенностями:

-экономией материальных ресурсов, требуемых для постановки и проведения физических экспериментов;

-возможностью апробации систем в изменяющихся по воле экспериментатора условиях;

-оценкой работоспособности систем с длительными технологическими циклами в существенно сжатые сроки.

Математические модели на транспорте имеют целевое назначение, например, для исследования структуры, функционирования, расхода.

7

Модели структуры предназначены для изучения взаимоположения и связей элементов системы как внутри нее, так и с внешней средой. Такие модели могут быть представлены в виде сетевых моделей, графиков, матриц и др.

Модели функционирования предназначены для изучения системы в динамике. Так модели операций применяются для решения конкретных экономическо-транспортных задач (модели анализа, прогнозирования, управления и др.)

Модели расхода или прибыли используются при определе-

нии технико-экономических показателей систем, оптимизации по отдельным критериям и т. п.

Классификацию математических моделей можно провести и по другим признакам.

Например, различают модели дескриптивные и нормативные.

Дескриптивные модели отвечают на вопросы: «Как это происходит?» или «Как это вероятнее всего может дальше развиваться?», то есть они объясняют наблюдаемые факты или дают вероятный прогноз. Характерным признаком таких моделей в большинстве случаев является изменение параметров системы в функции от времени.

Нормативные модели отвечают на вопрос: «Как это должно быть?», то есть предполагают целенаправленную деятельность. Типичный пример нормативных моделей – модели оптимального планирования перевозок, возможности и средства их достижения.

По целевому назначению математические модели делятся на теоретико-аналитические и прикладные. Теоретикоаналитические модели используются в исследованиях общих свойств и закономерностей различных объектов на транспорте. Прикладные модели применяются в решении различных зависимостей на транспорте, в частности для установления статистических закономерностей транспортных процессов, вероятных путей развития каких-либо процессов при определенных условиях.

По характеру отражения причинно-следственных связей выделяют модели жестко детерминистские и модели, учитывающие случайность и неопределенность. Различают неопре-

8

деленности, описываемые вероятностными законами, и неопределенности, для описания которых вероятностные методы неприменимы. Второй тип неопределенности гораздо более сложен для моделирования.

По способам отражения фактора времени математические модели делятся на статические и динамические. В статических моделях все зависимости относятся к одному моменту или периоду времени. Динамические модели характеризуют изменения транспортных процессов во времени.

Процесс моделирования связан с рядом процедур, таких, например, как выбор целевой функции, переменных, параметров и т. д. Вид математической модели в значительной степени зависит от цели исследования. Математическая модель может быть представлена в виде математического выражения, представляющего собой алгебраическое уравнение или неравенство, целевой функции и уравнений связи. Для построения такой модели необходимы следующие понятия:

-целевая функция – характеристика объекта из условия дальнейшего поиска критерия оптимальности, математически связывающая между собой те или иные факторы объекта исследования;

-критерий оптимальности – показатель, выбираемый исследователем, который служит для формализации конкретной цели управления объектом исследования и выражается при помощи целевой функции;

-ограничения – определяют пределы, сужающие область осуществимых, приемлемых или допустимых решений, и фиксируют основные внешние и внутренние свойства объекта.

Переменные в моделях могут быть переменными состояния, скорости, роста, вспомогательными и управляющими:

-переменные состояния определяют или помогают определить состояние системы в любой момент времени;

-переменные скорости (роста) – характеристики, задающие процесс, который протекает в системе в заданный момент времени;

-вспомогательные переменные способствуют более глубоко-

му пониманию объекта и в отдельных случаях упрощают сопоставление результатов наблюдения;

9

-управляющие переменные – входы модели, значения которых изменяются во времени независимо от поведения исследуемого объекта;

-параметры и константы – это не зависящие от времени количественные показатели и коэффициенты, включаемые в математическую модель.

Построение математической модели системы включает несколько этапов:

-постановку задачи моделирования, определение цели моделирования, критериев ее достижения и ограничений;

-планирование и проведение экспериментов с объектом для получения информации, необходимой для его формализации;

-формализованное описание объекта;

-построение и идентификацию модели объекта;

-проверку адекватности модели;

-планирование и проведение компьютерных экспериментов с

моделью.

Результаты исследования объекта могут выдаваться в устной или письменной форме. Они должны включать в себя краткое описание объекта исследования, цель исследования, выбранную математическую модель, допущения и ограничения, основные результаты вычислений, выводы и обобщения.

10