golunova_l_v_matematicheskie_modeli_v_transportnyh_raschetah

ляющих последовательность событий, поступающих нерегулярно в заранее неизвестные и случайные моменты времени. Само обслуживание заявок также имеет непостоянный и случайный характер. Случайный характер потока заявок и времени их обслуживания обусловливает неравномерность загрузки СМО: на входе могут накапливаться необслуженные заявки (перегрузка СМО), заявок нет, их меньше, чем свободных каналов (недогрузка СМО). Таким образом, в СМО поступают заявки, часть из которых принимается на обслуживание каналами системы, часть становится в очередь на обслуживание, а часть покидает систему необслуженными.

Системы массового обслуживания делятся на типы (или классы) по ряду признаков. Первое деление: «открытые» и «замкнутые». В открытой СМО характеристики потока заявок не зависят от того, в каком состоянии сама СМО (сколько каналов занято). В замкнутой СМО – зависят. Например, если один рабочий обслуживает группу станков, время от времени требующих наладки, то интенсивность потока «требований» со стороны станков зависит от того, сколько их уже неисправно и ждет наладки. Это пример замкнутой СМО.

Другой вид классификации: СМО с отказами и СМО с очередью. В СМО с отказами заявка, поступившая в момент, когда все каналы заняты, получает отказ, покидает СМО и в дальнейшем процессе обслуживания не участвует. Примеры СМО с отказами встречаются в телефонии: заявка на разговор, пришедшая в момент, когда все каналы связи заняты, получает отказ и покидает СМО необслуженной. В СМО с очередью заявка, пришедшая в момент, когда все каналы заняты, не уходит, а становится в очередь и ожидает возможности быть обслуженной. На практике чаще встречаются (и имеют большее значение) СМО с очередью; недаром теория массового обслуживания имеет второе название: «теория очередей».

СМО с очередью (или ожиданием) подразделяются на разные виды, в зависимости от того, как организована очередь – ограничена она или не ограничена. Ограничения могут касаться как длины очереди, так и времени ожидания (так называемые «СМО с нетерпеливыми заявками»). При анализе СМО должна учитываться также и «дисциплина обслуживания» – совокуп-

71

ность отношений порядка или преимуществ в обслуживании требований. Преимущества могут быть абсолютными и относительными. Требования с абсолютным преимуществом, поступив в систему, могут даже прервать обслуживание предыдущего требования и занять обслуживающий канал. Требования с относительным преимуществом не прерывают обслуживания, но становятся в очереди на первое место. Обслуживание в системе может быть упорядоченным (требования обслуживаются в порядке поступления) и неупорядоченным (порядок обслуживания случайный).

В зависимости от числа (один или несколько) обслуживающих каналов системы делятся на одно- и многоканальные. Многоканальная система состоит из ограниченного числа каналов обслуживания, на любой из которых могут поступать требования. Если все каналы заняты, то требования становятся в очередь и ждут их освобождения. Примером таких систем служат бригады ПТО в парках приема и отправления станции; вытяжные пути формирования с работающими на них маневровыми локомотивами; сортировочная горка с параллельным роспуском составов; билетные кассы на вокзалах и др. В некоторых из них (билетные кассы, бригады ПТО) аппараты обслуживания отождествляются с каналами. Требования ожидают освобождения только аппарата обслуживания. Системы такого типа называют простейшими многоканальными. В системах другого типа, называемых неполнодоступными, требования дополнительно простаивают в ожидании освобождения еще и канала обслуживания. Поэтому среднее время ожидания в них слагается из двух элементов: среднего времени ожидания освобождения обслуживающего аппарата и канала обслуживания. Например, при формировании поездов на вытяжных путях накопившийся состав ожидает и маневрового локомотива, и освобождения вытяжного пути, занятого формированием предыдущего состава.

На практике встречаются системы, в которых входящий поток после обслуживания на одном аппарате направляется на другой. Системы такого рода называются последовательными или многофазными, пример такой системы на транспорте – сортировочная станция.

72

Эффективность работы систем массового обслуживания характеризуют показатели, которые можно разбить на три группы.

1.Группа показателей эффективности использования СМО:

-абсолютная пропускная способность (А) – среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени, или интенсивность выходящего потока обслуженных заявок (это часть интенсивности входящего потока заявок);

-относительная пропускная способность (Q) – отношение абсолютной пропускной способности к среднему числу заявок, поступивших в систему за единицу времени;

-средняя продолжительность периода занятости СМО (Tзан);

-интенсивность нагрузки (ρ) показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость СМО;

-коэффициент использования СМО – средняя доля времени, в течение которого система занята обслуживанием заявок.

2.Показатели качества обслуживания заявок:

-среднее время ожидания заявки в очереди (Точ);

-среднее время пребывания (обслуживания) заявки в СМО

(Тобс);

-вероятность отказа заявки в обслуживании без ожидания

(pотк);

-вероятность немедленного приема заявки (pпр);

-закон распределения времени ожидания заявки в очереди в СМО;

-среднее число заявок в очереди (Nоч);

-среднее число заявок, находящихся в СМО (No6c).

3.Показатели эффективности функционирования пары «СМО – потребитель», например, средний доход в единицу времени от СМО. Эта группа полезна, когда доход от СМО и затраты на ее обслуживание измеряются в одних и тех же единицах, и отражают специфику работы СМО.

По характеру происходящего в СМО процесса различают марковские и немарковские системы. Будем рассматривать марковские системы, в которых вероятность состояния СМО в будущем зависит только от ее настоящего состояния и не зависит от прошлого (процесс без последействия). В таких системах

73

потоки заявок, потоки обслуживания и прочие характеристики являются пуассоновскими, математические модели которых имеют достаточно простые решения. В простейшем пуассоновском потоке событий случайная величина распределена по показательному закону:

где λ – интенсивность поступления потока заявок в систему.

2.2.2. Одноканальная СМО с отказами

Одноканальная СМО включает только один канал обслуживания и на ее вход подается пуассоновский поток заявок с интенсивностью λ, то есть непрерывная случайная величина Т (время между двумя соседними заявками) распределена по показательному закону. Другая случайная величина Тобс (время обслуживания каналом одной заявки) также распределена по закону Пуассона с параметром µ:

Параметры λ и µ называются соответственно интенсивно-

стью потока заявок и интенсивностью потока обслужива-

ния. Соответственно среднее значение Тобс ≈ 1/ µ.

Система может находиться в одном из состояний: S0 – канал свободен (простаивает) или S1 – занят (рисунок 2.3).

Рисунок 2.3 – Одноканальная система массового обслуживания

74

Пример 2.2. Пункт приема заказов имеет одну телефонную линию, на которую в среднем приходит 0,4 вызова в минуту. Среднее время разговора 1,3 мин. Вызов, пришедший во время разговора, не обслуживается. Считая потоки вызовов пуассоновскими, найти абсолютную и относительную пропускную способности пункта приема заказов и вероятность отказа заказчику.

Решение:

Рассмотрим пункт приема заказов с одной телефонной линией как одноканальную СМО с отказами, То6с= 1/ µ = 1,3 мин, интенсивности поступающего и обслуженного потоков заявок равны соответственно λ = 0,4, µ = 0,77. Тогда по формулам (2.8)–(2.10) имеем: Q = 0,66, p1 = 0,34, A = λQ = 0,26 выз./мин. Обратите внимание, что абсолютная пропускная способность СМО оказалась почти втрое меньше интенсивности µ потока обслуживания. Это обусловлено случайным характером потока заявок.

Пример 2.3. В компанию по линии связи приходит простейший поток сообщений с интенсивностью λ = 0,7 выз./мин, производительность линии 0,5 выз./мин. Сообщение, пришедшее во время занятости линии, не обслуживается. Найти абсолютную пропускную способность линии, среднее время обслуживания одного сообщения, вероятность отказа в обслуживании, среднее время пребывания сообщения в системе, а также полное число обслуженных и необслуженных заявок в течение 1 часа работы компании.

Решение:

По формулам (2.8)–(2.13) получаем: А = 0,29 выз./мин; ротк = р1 = 0,58; То6с = 2,0 мин; Тср = 0,83 мин. Число заявок, обслуженных в

течение 1 часа, равно 17 (=60А), а получивших отказ –

24·(=60·λ·ротк).

2.2.3.Многоканальная СМО с отказами

Вмногоканальной СМО (n > 1) с отказами на вход поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ. Поток обслуживаний каждым каналом является также простейшим с ин-

тенсивностью µ = 1/Тобс. Каждый канал в любой момент времени или свободен, или обслуживает только одну заявку. Таким

75

образом, СМО может находиться только в одном из n+1 состояний: от состояния S0 (все каналы свободны) до состояния Sn (все каналы заняты). Заявка, поступившая в систему, когда заняты все n каналов, получает отказ в обслуживании и покидает СМО.

Переход системы из одного состояния в другое, например из S0 в S1 происходит под воздействием входного потока заявок с интенсивностью λ, а обратно – под воздействием потока обслуживания заявок с интенсивностью µ. Таким образом, для перехода системы из состояния Sk в Sk–l безразлично, какой из каналов освободится, поток заявок имеет интенсивность kµ, а переводящий СМО из состояния Sn в Sn–1 имеет интенсивность nµ. Предельные вероятности состояния СМО можно вычислить по формулам Эрланга:

где ρ – приведенная интенсивность потока заявок. Рассмотрим основные характеристики многоканальной

СМО с отказами.

Вероятность отказа в обслуживании:

Среднее число занятых каналов К (отношение абсолютной пропускной способности к интенсивности канала обслуживания):

76

Пример 2.4. В компании работают 3 оператора на обслуживании клиентов. Среднее время обслуживания одного клиента одним оператором 15 мин. В среднем за час в компанию обращается 20 человек. Если все операторы заняты, клиенты не обслуживаются. Найти основные предельные средние характеристики работы компании и вероятность того, что не менее двух каналов простаивают.

Решение:

Компания рассматривается как СМО с отказами, число каналов n=3. Интенсивность входного потока заявок λ = 20 чел./час, интенсивность обслуживания одного канала µ = 4 чел./час. Тогда ρ =λ/µ = 5. Используя формулы (2.14)–(2.20), получаем:

Q = 1 – p3 = 1 – 0,63 = 0,37.

Из этих расчетов следует, что из каждых 100 человек, обратившихся в компанию, в среднем будут обслужены 37.

При этом абсолютная пропускная способность СМО составит:

A = λQ = 20·0,37 = 7,4 чел./час;

среднее число занятых каналов: К = Nобс = 7,4/4= 1,85; среднее время пребывания заявки в СМО:

Тср = К/λ = 0,09 час = 5,4 мин;

вероятность того, что не менее двух каналов простаивают, равна сумме вероятностей: р0 + р1 = 0,03 + 0,15 = 0,18.

2.2.4. Многоканальная СМО с ожиданием

иограничением на длину очереди

Вмногоканальной СМО (n > 1) с ожиданием заявка не покидает систему необслуженной, если все каналы заняты, а становится в очередь и ожидает обслуживания. Пусть максимальное число мест в очереди равно m ≥ 1, то есть в очереди могут ожидать своего обслуживания не более m заявок. Пришедшая на вход в СМО заявка в момент, когда в очереди уже находятся m заявок, получает отказ и покидает систему, то есть «заполнение» СМО заявками из входного потока идет в два этапа: сначала происходит загрузка каналов обслуживания, затем заполняется очередь. В этом случае нумерация состояний системы

следующая: от состояния S0 (в СМО нет заявок и все каналы свободны) до состояния Sn (в СМО n заявок и все n каналов заняты, очереди нет); от состояния Sn+l (в СМО n+1 заявка, все

77

каналы заняты и одна заявка находится в очереди) до состояния Sn+m (все n каналов и все m мест в очереди заняты заявками).

Вероятность простоя многоканальной СМО с ожиданием (все каналы свободны) р0 рассчитывается по формуле:

где ψ – показатель нагрузки на один канал. ψ = ρ/n = λ/(n·µ). Остальные предельные вероятности состояний рассчиты-

ваются аналогично формулам (2.14):

Вероятность отказа (заняты все n каналов и m мест в очере-

ди):

Вероятность приема заявки в СМО:

Абсолютная пропускная способность:

Среднее число заявок, находящихся в обслуживании (среднее число занятых каналов):

Среднее число заявок, находящихся в очереди:

78

Среднее время обслуживания заявки:

Тобс = Nобс/ λ = К/ λ. (2.29)

Среднее время ожидания заявки в очереди на обслуживание:

Пример 2.5. На автозаправке работают два кассира, каждый из которых обслуживает клиента в среднем за 2,5 мин. По условиям безопасности на площадке может находиться одновременно не более 5 человек, включая обслуживаемых клиентов. В среднем клиенты приходят каждые 2 мин, и если площадка заполнена, то клиент не становится в очередь, а уходит. Найти основные характеристики автозаправки.

Решение:

Работа автозаправки описывается двухканальной СМО (n=2) с ожиданием и ограничением на длину очереди (m=3). Интенсивность входящего потока: λ = 0,5 чел./ мин; интенсивность потока обслуживания: µ = 0,4 чел./ мин. Показатель нагрузки: СМО ρ = λ/µ = 1,25;

показатель нагрузки на один канал: ψ = ρ/n = 0,625. Вероятность простоя системы: p0 = 0,25 при n = 2, m = 3 и ψ ≠ 1. Вероятность отказа в обслуживании:

Относительная пропускная способность:

Q = 1 – 0,05 = 0,95,

то есть из каждых 100 клиентов, обратившихся на автозаправку, в среднем обслуживаются 95 клиентов.

Абсолютная пропускная способность:

A = λQ = 0,5·0,95 = 0,48.

Среднее число клиентов, находящихся в обслуживании:

К = Nобс = A/µ = ρ/Q = 1,19.

Среднее число клиентов, ожидающих в очереди:

Nоч = 0,42.

Среднее число клиентов в системе:

N = Nобс + Nоч = 1,61.

Среднее время обслуживания клиента:

Тобс = Nобс/ λ = К/ λ = 2,38 мин.

Среднее время пребывания клиента в очереди:

Точ = Nоч/ λ = 0,84.

79

Среднее время пребывания клиента на автозаправке:

Тср = Тобс + Точ = 3,22 мин.

2.2.5. Одноканальная СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди

При n = 1 и ψ = ρ получаем вероятность простоя системы:

Остальные характеристики работы одноканальной СМО рассчитываются по формулам (2.28)–(2.31) при значениях n = 1

и ψ = ρ.

2.2.6. Многоканальная СМО с ожиданием и неограниченной очередью

В данной СМО заявка, поступившая в систему в момент времени, когда все n каналов заняты, становится в очередь и ожидает своего обслуживания. Любая поступившая заявка будет обслужена. СМО может находиться в одном из бесконечного множества состояний:

Sk(k = 1,n ) – k каналов заняты и очереди нет;

Sm(m = 0, 1, ...) – все n каналов заняты и в очереди находятся m заявок.

Будем рассматривать СМО, в которой интенсивность обслуживания всех n каналов будет выше интенсивности λ входящего потока: очередь заявок в системе будет неограниченно расти с течением времени, то есть λ < nµ, или ψ < 1.

Формулы вероятностей состояния системы:

80