golunova_l_v_matematicheskie_modeli_v_transportnyh_raschetah
.pdf
Рисунок 1.13 – Биноминальный закон распределения
Рисунок 1.14 – Гистограмма биноминального закона распределения
Статистическая функция распределения случайной величины всегда есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины, и равны эмпирическим вероятностям этих значений. Сумма всех скачков функции F(x) равна единице. Интегральная функция распределения определяется формулой F(x) = P(Х<x). Построим график интегральной функции рассматриваемого распределения на отрезке [0; 5,8] с шагом 0,2. Подготовим таблицу (рисунок 1.15).
0 |
=БИНОМРАСП(I28;5;0,75;1) |
0,2 |
=БИНОМРАСП(I29;5;0,75;1) |
0,4 |
=БИНОМРАСП(I30;5;0,75;1) |
… |
|
5,8 |
=БИНОМРАСП(I57;5;0,75;1) |
Рисунок 1.15 – Исходные данные
Снова открываем диалоговое окно БИНОМРАСП, вводим данные (рисунок 1.16).
Рисунок 1.16 – Ввод исходных данных в диалоговом окне
41
По полученным данным с помощью «Мастера диаграмм» строим интегральную функцию распределения (рисунок 1.17).
Рисунок 1.17 – Интегральная функция биноминального распределения
Пример. Случайная дискретная величина задана табличным законом распределения. Найти интегральную функцию распределения и построить график.
X |
3 |
4 |
7 |
10 |
p |
0,2 |
0,1 |
0,4 |
0,3 |
Решение:
1.Вводим в ячейку A1 значение 2,8 и задаем в первом столбце арифметическую прогрессию с шагом 0,2, предельное значение 11.
2.В ячейку B1 вводим формулу интегральной функции распреде-
ления: = ЕСЛИ (A1≤3; 0; ЕСЛИ(A1≤4; 0,2; ЕСЛИ(A1≤7; 0,3; ЕС-
ЛИ(A1≤10; 0,7; 1)))). Копируем её в ячейки столбца B, соответствующие заполненным ячейкам столбца A.
3.Используя «Мастер диаграмм» строим график (рисунок 1.18).
Рисунок 1.18 – Интегральная функция распределения
42
Найдем математическое ожидание M(Х) случайной дискретной
n
величины: M(X) = ∑ xipi.
i=1
4.В диапазоне A1:D1 задаем ее возможные значения, а в диапазоне A2:D2 – вероятности, с которыми она их принимает.
5.Выделяем ячейку E1 и открываем диалоговое окно встроенной функции СУММПРОИЗВ из категории математических функций. Вводим данные (рисунок 1.19). Результат помещаем в ячейку E1 (рисунок 1.20). Таким образом, М(Х) = 6,8.
Рисунок 1.19 – Вычисление математического ожидания
Рисунок 1.20 – Исходные данные и полученный результат
Найдем дисперсию этой же случайной величины:
n
D(X) = ∑ (xi – M(X))2p(xi).
i=1
6.В A3 вводим формулу =(A1–$E$1)^2 и, копируя её в остальные ячейки диапазона A3:D3, получим квадраты отклонений возможных значений случайной величины от математического ожидания.
7.Выделяем E2, в диалоговом окне функции СУММПРОИЗВ задаем диапазоны A2:D2 и A3:D3, получаем значение дисперсии
D(X) = 6,76 (рисунок 1.21).
Рисунок 1.21 – Вычисление дисперсии
Проверим полученный результат, вычислив дисперсию по фор-
муле:D(X) = M(X2) – M(X)2.
8.В ячейку A4 введем формулу = A1^2, затем скопируем ее в ос-
тальные ячейки диапазона A4:D4. Расчеты формуле D(X) = M(X2) – M(X)2 поместим в ячейку Е3 (рисунок 1.22). Результаты совпадают.
43
Рисунок 1.22 – Вычисление дисперсии по формуле
D(X) = M(X2) – M(X)2
Пример 1.18. Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найти вероятности того, что магазин получит разбитых бутылок: а) ровно две; б) менее двух; в) более двух; г) хотя бы одну.
Решение:
Так как n = 1000 велико, а p = 0,003 мало, то применима формула Пуассона, в которой a = np = 3. Найдем по ней вероятности, с которыми принимаются значения 0, 1, 2.
1.Вводим значения вероятностей в диапазон A1:А3.
2.В ячейку B1 вводим функцию ПУАССОН (рисунок 1.23).
Рисунок 1.23 – Задание данных для функции ПУАССОН
3.Копируем формулу в ячейки B2 и В3. Ответ на первый вопрос находится в ячейке В3.
4.В ячейке B4 находим сумму трех полученных значений.
5.Формула =B1+B2 (C1) дает ответ на второй вопрос. Формулой =1–B4 (C2) получаем ответ на третий вопрос. Последняя величина находится по формуле =1–B1 (С3). Решение представлено на рисунке 1.24.
Рисунок 1.24 – Решение задачи
Пример 1.19. В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Наудачу отобраны две детали. Составить закон распределения случайной дискретной величины X – числа стандартных деталей среди отобранных.
44
Решение:
Возможные значения случайной величины X: 0, 1, 2. Закон распределения – гипергеометрический.
1.В ячейки диапазона A1:C1 вводим 0, 1, 2 соответственно.
2.Выделяем ячейку A2 и открываем диалоговое окно ГИПЕРГЕОМЕТ, вводим необходимые данные. Копируем формулу ячейки A2 в ячейки B2, C2 (рисунок 1.25).
Рисунок 1.25 – Решение задачи
1.5.1.2. Непрерывное распределение
Рассмотрим встроенную функцию нормального закона распределения НОРМРАСП.
Построим график плотности (дифференциальной функции) нормального закона распределения с параметрами a = 2, σ = 1 на отрезке [–1; 5] с шагом 0,2.
1.В ячейку A1 введём 1 и в первом столбце зададим арифметическую прогрессию с шагом 0,2, предельное значение 5.
2.Выделим ячейку B1, откроем диалоговое окно НОРМРАСП, в котором зададим данные (рисунок 1.26).
Рисунок 1.26 – Окно функции нормального закона распределения
3.Скопируем формулу ячейки B1 в остальные ячейки диапазо-
на B1:В32.
4.По полученным данным построим график – кривую Гаусса
(рисунок 1.27).
Рисунок 1.27 иллюстрирует вероятность того, что нормально распределенная случайная величина отклонится от математического ожидания а на величину, большую 3σ, приближенно равна нулю. Аналогично строится график интегральной функции данного распределения (рисунок 1.28).
45
Рисунок 1.27 – Кривая Гаусса
Рисунок 1.28 – Интегральная функция нормального распределения
Неотрицательная случайная величина X имеет гаммараспределение, если ее плотность распределения:
f (x,α,β) = |
|
xα−1 |
e−x / β при x > 0, где α > 0 и β > 0. |
(1.51) |
β |
α |
|||
|
Г(α) |
|
|
Графики плотности гамма-распределения при различных значениях α и β показаны на рисунках 1.29 и 1.30.
Рисунок 1.29 – График плотности гамма-распределения при α = ½, β = 1
Рисунок 1.30 – График плотности гамма-распределения при α = 2, β = 1
46
Пусть надо получить 10 выборочных значений равномерно распределенной случайной величины, имеющей плотность:
|
1 |
|
|
|
при a < x < b , где a = 0, b = 1. |
|
||
f (x) = b −a |
||
|
0 |
x ≥ b; x ≤ a |
|
||
Для этого будем использовать команду Сервис → Анализ дан-
ных → Генерация случайных чисел. В списке распределений выберем «Равномерное» (рисунок 1.31) и заполним его.
а) |
б) |
Рисунок 1.31 – Получение выборочных значений равномерно распределенной случайной величины
Заметим, что в интервал (0; 0,5) попало столько же чисел, сколько в интервал (0,5; 1), как и должно быть.
Если в поле «Случайное рассеивание» ввести натуральное число, не превышающее 32767, то при повторении генерации с теми же данными возвращаться будет одна и та же последовательность. Интервал (0; 1) может быть заменен любым интервалом (а; b).
Аналогично генерируются случайные числа, подчиняющиеся остальным законам распределений, представленным в списке.
1.5.2. Обработка статистических данных
Пусть имеется выборка значений некоторого признака X
объемом n = 50: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
9,19; |
11,5; |
10,7; |
12,6; |
13,0; |
12,3; |
7,46; |
8,92; |
8,80; |
11,6; |
|
11,9; |
10,9; |
5,82; |
8,89; |
9,32; |
8,30; |
8,76; |
8,01; |
15,5; |
12,3; |
(1.52) |
9,46; |
9,11; |
12,1; |
12,5; |
9,33; |
11,0; |
10,1; |
9,61; |
13,7; |
15,0; |
|
12,2; |
13,1; |
11,7; |
10,4; |
11,5; |
9,02; |
9,23; |
7,16; |
12,0; |
10,6; |
|
6,39; 6,97; 9,03; 6,84; 8,29; 10,5; 11,7; 7,05; 12,1; 9,53.
47
Требуется, разбив выборку на k = 6 групп, составить:
1)интервальный вариационный ряд и построить гистограмму частот;
2)дискретный вариационный ряд и построить полигон частот.
1.Вводим данные в диапазон A1:А50 и располагаем их в порядке возрастания, используя команду Сортировка по воз-
растанию.
2.В полученном массиве находим минимальное и максималь-
ное значения элементов: minX = A1 = 5,82, maxX = A50 = 15,5.
Их также можно получить, используя встроенные функции МИН и МАКС соответственно.
3.По формуле = A50 – A1 находим размах выборки ∆Х = 9,68.
4.Получим значение шага по формуле h = ∆Х/6 = 1,613333. Округляем только в большую сторону, в результате имеем h
= 1,7.
5. По формуле |
min X − kh −∆X |
найдем крайнее левое значение |
|
2 |
|
первого интервала (=5,56). Округлим до 5,6 и убедимся, что так округлить можно: 5,6 + 6·1,7 = 15,8 > 15,5.
6.В диапазоне B1:B7 зададим арифметическую прогрессию, первый член =5,6; шаг =1,7; предельное значение =15,8 (ри-
сунок 1.32).
Рисунок 1.32 – Расчет интервалов обработки данных
7.С помощью встроенной функции СЧЕТЕСЛИ подсчитаем число значений, принадлежащих промежутку [5,6; 7,3]. Результат поместим в C1 (рисунок 1.33).
8.Аналогично подсчитаем число значений, принадлежащих остальным интервалам (рисунок 1.34).
48
Рисунок 1.33 – Окно встроенной функции СЧЕТЕСЛИ
Рисунок 1.34 – Итоги вычислений с помощью функции СЧЕТЕСЛИ
9.Для вычисления значений середины интервалов в ячейку D1 введем формулу =(B1+B2)/2, копированием зададим её в диапазоне D1:D6. В ячейку E1 введем 6, а в ячейку E2 формулу =C2–C1. Скопируем последнюю формулу в ячейки Е3:E6. В результате получим последовательность частот (рисунок 1.35). Таким образом, интервальный вариационный ряд выборки (1.52) записывается в виде:
(5,6, 7,3] |
(7,3, 9] |
(9, 10,7] |
(10,7, 12,4] |
(12,4, 14,1] |
(14,1, 15,8] |
||
6 |
8 |
|
15 |
14 |
5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 1.35 – Получение значений для вариационного ряда выборки
10.С помощью «Мастера диаграмм» построим гистограммы частот диапазона E1:E6 (рисунок 1.36).
Рисунок 1.36 – Гистограмма частот
11.Для построения полигона частот используем тип диаграммы
Нестандартные → Гистограмма_область (рисунок 1.37).
49
Рисунок 1.37 – Полигон частот
n
_ ∑xi
Встроенная функция СРЗНАЧ вычисляет величину x = i=1n .
12.Введем в диапазон A1:А50 значения ряда (1.52).
13.В ячейку B1, используя встроенную функцию СРЗНАЧ, поместим среднее значение диапазона A1:А50.
|
n |
_ |
|
Дисперсия D(X ) = |
∑(xi − x)2 |
вычисляется встроенной функ- |
|
i =1 |
|
||
|
n |
||
|
|
|
|
цией ДИСПР. Например, продолжая вычисления, получаем значение дисперсии (рисунок 1.38).
Рисунок 1.38 – Вычисление числовых характеристик
1.5.3. Проверка гипотезы о законе распределения случайной величины
Пусть задано статистическое распределение выборки:
xi |
1,3 |
2,0 |
2,7 |
3,4 |
4,1 |
ni |
5 |
9 |
19 |
11 |
6 |
Требуется, используя критерий Пирсона, проверить гипотезу о нормальном законе распределения случайной величины X
(p=0,05).
1.В диапазон A1:В5 вводим исходные данные (рисунок 1.39).
2.Для вычисления дисперсии в ячейку C1 вводим =Al^2, формулу копируем в ячейки C2:С5 (рисунок 1.39).
3.С помощь встроенной функции СУММПРОИЗВ в D1 вычисляем математическое ожидание (= СУММПРОИЗВ
(A1:A5;B1:B5)/B6), а в D2 – дисперсию (= СУММПРОИЗВ (B1:B5; C1:C5)/ B6–D1^2) (рисунок 1.39).
50