golunova_l_v_matematicheskie_modeli_v_transportnyh_raschetah

Существуют ли для случайной величины X числовые характеристики: математическое ожидание и дисперсия?

25) Пусть дана плотность распределения f(x):

Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X.

1.6.3.Статистическая обработка данных

I.Ряд распределения числа вагонов в группе, поступающей при расформировании составов на данный путь сортировочного парка, представлен в таблице. Объем выборки составил 200 наблюдений. Определите математические характеристики, постройте гистограмму и статистическую функцию распределе-

61

7.

II. В таблице представлено распределение числа составов, поступающих на сортировочную станцию, в зависимости от количества вагонов. Объем выборки составил 150 наблюдений. Определите математические характеристики, постройте гистограмму и статистическую функцию распределения числа составов. Пользуясь критерием χ2 К. Пирсона, подберите теоретический закон распределения.

11.

62

17.

III. В таблице представлено распределение интервалов между поступающими в переработку поездами. Объем выборки составил 100 наблюдений. Определите математические характеристики, постройте гистограмму и статистическую функцию распределения числа составов. Пользуясь критерием χ2 К. Пирсона, подберите теоретический закон распределения.

21.

Интервал, ∆хi (ед.) 0-0,15 0,15-0,3 0,3-0,45 0,45-0,6 0,6-0,75 0,75-0,9 0,9-1,2 1,2-1,65

22.

Интервал, ∆хi (ед.) 0-0,15 0,15-0,3 0,3-0,45 0,45-0,6 0,6-0,75 0,75-0,9 0,9-1,2 1,2-1,65

23.

Интервал, ∆хi (ед.) 0-0,15 0,15-0,3 0,3-0,45 0,45-0,6 0,6-0,75 0,75-0,9 0,9-1,2 1,2-1,65

24.

Интервал, ∆хi (ед.) 0-0,15 0,15-0,3 0,3-0,45 0,45-0,6 0,6-0,75 0,75-0,9 0,9-1,2 1,2-1,65

25.

Интервал, ∆хi (ед.) 0-0,15 0,15-0,3 0,3-0,45 0,45-0,6 0,6-0,75 0,75-0,9 0,9-1,2 1,2-1,65

26.

Интервал, ∆хi (ед.) 0-0,15 0,15-0,3 0,3-0,45 0,45-0,6 0,6-0,75 0,75-0,9 0,9-1,2 1,2-1,65

63

27.

Интервал, ∆хi (ед.) 0-0,15 0,15-0,3 0,3-0,45 0,45-0,6 0,6-0,75 0,75-0,9 0,9-1,2 1,2-1,65

64

2. ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

2.1. МАРКОВСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Функция X(t) называется случайной, если ее значение при любом аргументе t является случайной величиной. Случайная функция X(t), аргументом которой является время, называется случайным процессом. Марковские процессы являются частным видом случайных процессов.

Случайный процесс, протекающий в какой-либо системе S, называется марковским (или процессом без последействия), если он обладает следующим свойством: для любого момента времени t0 вероятность любого состояния системы в будущем (t > t0) зависит только от ее состояния в настоящем (t = t0) и не зависит от того, когда и каким образом система S пришла в это состояние.

Классификация марковских процессов производится в за-

висимости от непрерывности или дискретности множества значений функции X(t) и параметра t. Различают следующие основные виды марковских случайных процессов:

-с дискретными состояниями и дискретным временем (цепь Маркова);

-с непрерывными состояниями и дискретным временем (марковские последовательности);

-с дискретными состояниями и непрерывным временем (непрерывная цепь Маркова);

-с непрерывным состоянием и непрерывным временем.

65

Рассмотрим наиболее простой случай – марковские процессы с дискретными состояниями S1, S2, …, Sn.

На рисунке 2.1 изображен марковский случайный процесс с дискретными состояниями и дискретным временем (марковская цепь). На графе к S1, S2, … – это состояния системы S, стрелками – возможные переходы из состояния в состояние. Отмечаются только непосредственные переходы, а не переходы через другие состояния. Возможные задержки в прежнем состоянии изображают «петлей». Моменты t1, t2, ..., когда система S может менять свое состояние, рассматривают как последовательные шаги процесса. В качестве аргумента, от которого зависит процесс, выступает не время t, а номер шага 1, 2, ..., k, … Случайный процесс в данном случае представляет собой последовательность состояний S(0), S(1), S(2), ..., S(k), ..., где S(0)

– начальное состояние системы (перед первым шагом), S(1) – состояние системы после первого шага; S(k) – состояние системы после k-го шага...

Рисунок 2.1 – Граф состояний системы S

Событие S(k) = Si, состоящее в том, что сразу после k-го шага система находится в состоянии Si(i = 1, 2, ...), является случайным событием. Последовательность состояний S(0), S(1),

..., S(k), ... можно рассматривать как последовательность случайных событий. Таким образом, марковской цепью называется случайная последовательность событий, в которой для каждого шага вероятность перехода из любого состояния Si в любое Sj не зависит от того, когда и как система пришла в состояние Si. Начальное состояние S(0) может быть заданным заранее или случайным.

66

Вероятностями состояний цепи Маркова называются вероятности Pi(k) того, что после k-го шага (и до (k+1)-го) система S будет находиться в состоянии Si(i = 1,n). Для любого k:

n

∑Pi k =1. (2.1) i=1

Начальным распределением вероятностей марковской цепи называется распределение вероятностей состояний в начале процесса:

В частном случае, если начальное состояние системы S в точности известно S(0) = Si, то начальная вероятность Pi(0) = 1, а все остальные равны нулю.

Вероятностью перехода (переходной вероятностью) на k-м шаге из состояния Si в состояние Sj называется условная вероятность того, что система S после k-го шага окажется в состоянии Sj при условии, что непосредственно перед этим (после k–1 шага) она находилась в состоянии Si.

Так как система может пребывать в одном из n состояний, то для каждого момента времени t необходимо задать n2 вероятностей перехода Рij, которые удобно представить в виде матрицы переходных вероятностей (переходной матрицы):

Pn1 Pn2 ... Pnn

где Pij – вероятность перехода за один шаг из состояния Si в состояние Sj;

Pii – вероятность задержки системы в состоянии Si.

Если переходные вероятности не зависят от номера шага (от времени), а зависят только от того, из какого состояния в какое осуществляется переход, то соответствующая цепь Маркова называется однородной.

Переходные вероятности однородной марковской цепи Рij образуют квадратную матрицу размера nхn. Отметим некоторые её особенности:

67

1.Каждая строка характеризует выбранное состояние системы, а ее элементы представляют собой вероятности всех возможных переходов за один шаг из выбранного (из i-го) состояния, в том числе и переход в самое себя.

2.Элементы столбцов показывают вероятности всех возможных переходов системы за один шаг в заданное (j-е) состояние (иначе говоря, строка характеризует вероятность перехода системы из состояния, столбец – в состояние).

3.Сумма вероятностей каждой строки равна единице, так как переходы образуют полную группу несовместных событий:

n

k =1. (2.4)

i=1

4.По главной диагонали матрицы переходных вероятно-∑

стей стоят вероятности Рij того, что система не выйдет из состояния Si,а останется в нём.

Если для однородной марковской цепи заданы начальное распределение вероятностей (2.2) и матрица переходных вероятностей ||Pij|| (2.3), то вероятности состояний системы Рi(k)

(i = 1,n , j = 1,n ) определяются по рекуррентной формуле:

j=1

Пример 2.1. Рассмотрим процесс функционирования системы – локомотив. Пусть локомотив (система) в течение одной смены (суток) может находиться в одном из двух состояний: исправном (S1) и неисправном (S2). Граф состояний системы представлен на рисунке 2.2.

Рисунок 2.2 – Граф состояний локомотива

В результате проведения массовых наблюдений за работой локомотива составлена следующая матрица вероятностей перехода:

68

где P11 = 0,8 – вероятность того, что локомотив останется в исправном состоянии;

P12 = 0,2 – вероятность перехода локомотива из состояния «исправен» в состояние «неисправен»;

P21 = 0,9 – вероятность перехода локомотива из состояния «неисправен» в состояние «исправен»;

P22 = 0,1 – вероятность того, что локомотив останется в состоянии «неисправен».

Вектор начальных вероятностей состояний локомотива задан:

0

P(0) = 1 , то есть P1(0) = 0 и P2(0) = 1.

Требуется определить вероятности состояний локомотива через трое суток.

Решение:

Используя матрицу переходных вероятностей, определим вероятности состояний Pi(k) после первого шага (первых суток):

P1(1) = P1(0)·P11 + P2(0)·P21 = 0,9;

P2(1) = P1(0)·P12 + P2(0)·P22 = 0,1.

Вероятности состояний после второго шага (вторых суток):

P1(2) = P1(1)·P11 + P2(1)·P21 = 0,81;

P2(2) = P1(1)·P12 + P2(1)·P22 = 0,19.

Вероятности состояний после третьего шага (третьих суток):

P1(3) = P1(2)·P11 + P2(2)·P21 = 0,819;

P2(3) = P1(2)·P12 + P2(2)·P22 = 0,181.

Таким образом, после третьих суток локомотив будет находиться в исправном состоянии с вероятностью 0,819 и в состоянии «неисправен» с вероятностью 0,181.

2.2. МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

2.2.1. Компоненты и классификация моделей массового обслуживания

Системы массового обслуживания (СМО) – это системы,

в которые в случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание, при этом поступившие заявки обслуживаются с помощью имеющихся в распоряжении системы каналов обслуживания.

Основными задачами теории систем массового обслуживания являются установление зависимостей работы СМО от ее организации, характера потока заявок, числа каналов и их производительности, правил работы СМО.

Рассмотрим, каким образом в системах массового обслу-

69

живания возникают и обслуживаются очереди заявок (требований). Поступив в обслуживающую систему, требование присоединяется к очереди других (ранее поступивших) требований. Канал обслуживания выбирает для обслуживания из находящихся в очереди требований очередное. После завершения процедуры обслуживания канал обслуживания приступает к обслуживанию следующего требования, если такое имеется в блоке ожидания. Цикл функционирования системы массового обслуживания повторяется многократно в течение всего периода работы обслуживающей системы. При этом предполагается, что переход системы на обслуживание очередного требования после завершения обслуживания предыдущего требования происходит мгновенно, в случайные моменты времени.

Примерами систем массового обслуживания могут служить:

-железнодорожные сортировочные горки;

-пункты погрузки и выгрузки вагонов грузовых станций;

-посты технического обслуживания и ремонта подвижного состава;

-пункты экипировки локомотивов и т. д.

Основными элементами СМО являются:

1)входящий поток заявок;

2)очередь;

3)каналы обслуживания;

4)выходящий поток заявок (обслуженные заявки). Входящий поток заявок (регулярный или случайный) –

это последовательность однородных событий, которые наступают через интервалы времени равной или случайной величины. Примеры входящих потоков: поезда, прибывшие на станцию; группы вагонов, поступающие на сортировочный путь; телефонные вызовы; локомотивы, поступающие на осмотр и под экипировку, и др. Поток требований, которые прошли обслуживание в системе, называется выходящим, например составы, осмотренные бригадой ПТО в парке приема станции, – выходящий поток из системы технического осмотра.

Основой СМО является определенное число обслуживающих устройств – каналов обслуживания. Назначение СМО состоит в обслуживании потока заявок (требований), представ-

70