golunova_l_v_matematicheskie_modeli_v_transportnyh_raschetah

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

При изучении транспортных процессов и систем проводятся опыты и наблюдения. Анализ их результатов показывает, что в одних и тех же условиях могут быть получены различные численные значения исследуемых величин или функций, и эти значения изменяются в определенных пределах – узких или более широких. В таких случаях эффективны вероятностностатистические методы описания явлений и процессов, позволяющие найти закономерности их протекания, выявить на основе конкретного анализа факторы и установить их влияние на рассеяние получаемых результатов.

1.1. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПОНЯТИЯ О СЛУЧАЙНЫХ СОБЫТИЯХ, ВЕЛИЧИНАХ И ФУНКЦИЯХ

Событие – это любой факт, который может произойти в данных условиях. Совокупность условий, в которых рассматривается данное событие, – комплекс условий, реализация этого комплекса условий на практике – испытание. В зависимости от связи между событиями и соответствующими комплексами условий различают достоверные, невозможные и случайные события.

Достоверное событие (U) наступает каждый раз при реализации данного комплекса условий. Например, все вагоны подлежащего расформированию состава обязательно проследуют по первой разделительной стрелке сортировочной горки.

11

Невозможное событие ( ) никогда не наступает при реализации данного комплекса условий. Пример такого события – одновременное занятие двумя поездами пересекающегося маршрута.

Случайное событие (А, B, C, ...) может либо наступить при реализации данного комплекса условий, либо не наступить. Примеры случайных событий:

-наличие в прибывшем на станцию поезде вагонов данного назначения;

-наличие в сформированном поезде вагона, требующего ремонта;

-прекращение роспуска составов с горки из-за необходимости осаживания вагонов в сортировочном парке;

-отказ в работе каких-либо устройств и др.

Достоверное и невозможное события – это крайние частные случаи случайных событий.

Элементарное событие – это один из нескольких возможных, но несовместных исходов того или иного испытания, совокупность которых составляет пространство элементарных событий. Пустое множество не содержит элементарных событий.

При изучении математических моделей транспортных процессов и систем используется, как правило, группа событий, между которыми существуют определенные соотношения, позволяющие выражать одни события через другие. Рассмотрим эти соотношения.

1.Событие A содержится в событии B (А В). Если при каждом испытании, при котором происходит событие A, происходит и событие B, то событие A принадлежит событию

В.

Например, время прибытия на станцию грузового поезда определяется, в частности, условиями продвижения поезда по участку.

2.Тождественные события (А = В). Если событие A со-

держится в событии B, а событие B содержится в событии A, то события A и B тождественны или равносильны.

Например, при расформировании составов на сортировоч-

12

ной горке двумя локомотивами занятость одного из них равносильна занятости другого.

3. Произведение событий. Произведением (пересечением) событий A и B называется событие C, состоящее в совместном наступлении этих событий:

Например, если событие A – наличие в прибывшем поезде вагона назначением на контейнерную площадку, событие B – то же на грузовой двор, то событие C состоит в том, что в данном поезде есть вагоны и на грузовой двор, и на контейнерную площадку.

4. Несовместные события. События A и B называются несовместными, если их совместное появление при испытании невозможно:

Например, в группе вагонов, стоящих на станции, имеются вагоны на грузовой двор (событие А) и на промышленное предприятие (событие В).

5. Сумма (объединение) событий. Суммой событий A и B

называется событие C, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий. Множество C содержит элементы, принад-

Например, если событие A – обнаружение неисправного вагона в первом поезде, событие B – неисправный вагон во втором поезде, то событие C – это обнаружение неисправного вагона вообще, безразлично в каком поезде – первом, втором или в обоих вместе.

6. Полная группа событий. События A и B составляют полную группу событий, если при реализации заданного комплекса условий появится хотя бы одно из этих событий. Сумма всех таких событий – событие достоверное:

С = А + В = U. (1.4)

Например, прибытие поезда на станцию по графику или не по графику, появление или непоявление группы вагонов данного назначения на сортировочном пути за определенный промежуток времени и др.

13

7. Противоположное событие. Два события A и Ā назы-

ваются противоположными, если они составляют полную группу несовместных событий, то есть удовлетворяют условию:

Например, свободность А и занятость Ā грузового фронта, наличие А и отсутствие Ā в передаче крытых вагонов и т. п.

Любому событию при данном комплексе условий соответствует определенная степень возможности его наступления. Частотой события A называется отношение числа испытаний, в которых появилось данное событие, и общего числа ис-

где n – общее число проведенных испытаний;

m(А) – число испытаний, в которых наступило событие А.

Частота достоверного события U равна единице:

P*(U) = n/n = 1.

Частота невозможного события равна нулю:

P*( ) = 0/n = 0.

Частота случайного события A находится в интервале [0;1]:

0 ≤ P*(A) ≤ 1.

Частоту события можно определить только после проведения опытов, но в различных сериях опытов при одних и тех же условиях она не остается постоянной. Однако по мере увеличения числа испытаний частота постепенно стабилизируется. Иначе говоря, частота случайного события начинает обладать устойчивостью относительно некоторого вполне определенного числа. Это свойство отражает связь между комплексом условий и возможностью наступления событий при данном комплексе.

Количественной мерой степени возможности появления события для заданного комплекса условий является вероятность события. Чем более возможно появление случайного события, тем больше его вероятность. Вероятность и частота события тесно связаны между собой. Зная частоту, вычисленную при достаточно большом числе испытаний, есть все основания считать ее близкой к соответствующей вероятности:

14

Такой способ определения вероятности события P(А) называется статистическим.

Пример 1.1. В прибывшем поезде из 60 вагонов находится 9 цистерн, остальные крытые вагоны. Чему равна вероятность того, что случайно отобранный для технического осмотра вагон окажется цистерной?

Решение:

Цистерн m = 9 штук из общего количества вагонов n = 60 штук. Так как случайно для технического осмотра выбирается один вагон, вероятность того, что он будет цистерной:

P(A) = m(A)/n = 9/60 =0,15.

Свойства вероятностей событий

Пример 1.2. В подаче вагонов на контейнерную площадку могут находиться: четырехосная платформа с вероятностью P1 = 0,3, четырехосных полувагон с вероятностью P2 = 0,6 и шестиосный полувагон с вероятностью P3 = 0,1. Определить вероятность того, что выбранный наудачу вагон окажется четырехосным.

Решение:

Четырехосными могут быть или полувагон, или платформа, причем события, заключающиеся в выборе этих вагонов, несовместны. Поэтому искомую вероятность определим как сумму вероятностей этих событий:

Р(А) = P1 + P2 = 0,3 + 0,6 = 0,9.

Если несовместные события составляют полную группу, то есть A1 + A2 + … + An = U и Ai · Aj = , i ≠ j, то

15

Пример 1.3. На станцию в течение суток прибывает пять групп вагонов. В каждой группе имеются пищевые цистерны.

Определить вероятность числа пищевых цистерн в группах вагонов, прибывающих на станцию в течение суток.

Решение:

Статистическую вероятность числа пищевых цистерн определяем как среднюю частость:

(Следует иметь в виду, что при делении сумм, то есть ∑mi , полу-

∑ni

чается другое число, так как 10518 = 0,1714 ).

Для любого события A вероятность противоположного события Ā равна:

Пример 1.4. На станцию с тремя пунктами местной работы прибывает группа вагонов на один из них. Вероятность того, что вагоны предназначены для первого пункта P1 = 0,4, а для второго P2 = 0,35. Определить вероятность того, что эти вагоны предназначены для третьего пункта.

Решение:

Рассматриваемые события образуют полную группу несовместных событий. Поэтому сумма их вероятностей равна единице:

P1 + P2 + P3 = 1 или 0,4 + 0,35 + P3 = 1

Откуда искомая вероятность P3 = 1 – 0,4 – 0,35 = 0,25.

Вероятность двух совместных событий A и B равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения:

Пример 1.5. Из десяти осмотренных вагонов 7 имеют дефект A и 5 – дефект В. Определить вероятность того, что случайно осмотренный вагон будет иметь дефект.

Решение:

Событие A – наличие дефекта A и событие B – наличие дефекта

16

B события совместные и поэтому вероятность того, что хотя бы одно из них свершится, найдем по формуле (1.14):

P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB) = 107 + 105 − 107 105 = 0,85 .

Умножение вероятностей

Вероятность события определяется при условии реализации некоторой совокупности условий. Если при вычислении вероятности Р(А) никаких ограничений, кроме упомянутых условий, не налагается, то такие вероятности называются безусловными. Но иногда приходится находить вероятности событий при условии, что произошло некоторое событие B, имеющее положительную вероятность. Такие вероятности называются условными и обозначаются Р(А/В).

Если вероятность события А не изменяется от того, наступает событие В или нет, то оно называется независимым от события В, то есть Р(А/В) = Р(А). Например, к сортировочной станции C примыкают три участка. Событие A – прибытие на станцию в данный момент времени разборочного поезда с одного из участков – не зависит от того, прибыли ли в данный момент разборочные поезда с других участков. Это независимые события.

В группе из 10 вагонов три вагона нельзя использовать для погрузки. Наудачу берут один вагон, а затем, не возвращая его, второй. Событие B – взятый в первый раз вагон непригоден к погрузке, событие A – вагон, взятый во второй раз, также непригоден к погрузке. Вероятность появления события A при условии, что событие B произошло, равна P(A) = 2/9. Если же взятый в первый раз вагон оказался пригодным к погрузке, то P(A) = 3/9. Таким образом, вероятность появления события A зависит от того, произошло событие B или нет. Это значит, что событие A зависит от события B. Математически условие зависимости события A от события B: Р(А/В) ≠ Р(А).

Вероятность произведения или совместного наступления двух событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность другого при условии, что

17

Пример 1.6. Выбран один из участков механического цеха ремонтного предприятия. Вероятность того, что на нем имеется токарный станок Р(В) = 0,8. Вероятность того, что токарный станок находится в исправном состоянии Р(АВ) = 0,4. Определить вероятность того, что токарный станок находится в исправном состоянии при осмотре участка.

Решение:

Вероятность того, что на момент осмотра участка станок будет в исправном состоянии: Р(А/В) = Р(АВ)/ Р(В) = 0,4/ 0,8 =0,5.

Пример 1.7. Под погрузку поданы платформа, полувагон и крытый вагон. Грузоподъемность платформы используется с вероятностью Р(A) = 0,9, полувагона Р(В) = 0,8 и крытого вагона Р(C) = 0,7. Определить вероятность того, что грузоподъемность всех трёх вагонов будет использована полностью.

Решение:

Так как события A, B, C независимые, то искомая вероятность равна Р(АВC) = Р(А)·Р(В)·Р(C) = 0,9·0,8·0,7 = 0,504.

1.2. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Случайные события могут быть представлены через случайные величины. Случайной называется величина, которая в результате испытания (реализации определенного комплекса условий) может принять то или иное значение, причем до испытания неизвестно, какое именно. Результатом повторных испытаний будет какое-либо одно значение случайной величины из множества возможных.

Случайные величины делятся на дискретные и непрерывные. Случайная величина, принимающая отдельные возможные значения с определенными вероятностями, называется дис-

кретной случайной величиной. Например, число поездов,

прибывающих на станцию за определенный промежуток времени, число вагонов в группе, подаваемой на грузовой фронт, и т. д.

Непрерывная случайная величина может принимать все значения из некоторого промежутка. Например, интервалы между прибывающими на станцию поездами, время экипировки и осмотра локомотивов перед выходом на линию и т. д.

18

1.2.1.Дискретные случайные величины

1.2.1.1.Числовые характеристики дискретных случайных величин

Математическое ожидание дискретной случайной величины

Математическим ожидание дискретной случайной величины называется сумма произведений всех её возможных значений на их вероятности:

i=1

где xi – возможные значения случайной величины X;

pi – вероятность появления i-го возможного значения случайной величины X.

Таким образом, математическое ожидание – это некоторая постоянная (неслучайная) величина. Вероятностный смысл математического ожидания состоит в том, что оно приближенно равно (особенно для большого числа испытаний) среднему арифметическому значению случайной величины.

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины

Разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием называется отклонением: X – М(X). Математическое ожидание квадрата отклонения называется дисперсией,

или рассеянием:

Чем больше дисперсия, тем в среднем больше отклонение значений случайной величины относительно математического ожидания, то есть больше рассеивание случайной величины. Дисперсия дискретной случайной величины вычисляется по формуле:

i=1

Наряду с дисперсией случайной величины в качестве характеристики рассеивания случайной величины используется

среднее квадратическое отклонение, которое равно положи-

тельному значению корня квадратного из дисперсии:

Среднее квадратическое отклонение имеет одинаковую

19

размерность со случайной величиной, в этом состоит её преимущество относительно дисперсии.

Пример 1.8. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, имеющей следующие значения:

Решение:

Математическое ожидание:

M[X] = 1·0,3 + 2·0,5 + 5·0,2 = 2,3.

Возможные значения квадратов отклонений случайной величины

от математического ожидания:

(X – M(X))2 = (1 – 2,3)2 = 1,69;

(X – M(X))2 = (2 – 2,3)2 = 0,09;

(X – M(X))2 = (5 – 2,3)2 = 7,29. Дисперсия: D(X) = 1,69·0,3 + 0,09·0,5 + 7,29·0,2= 2,01.

Среднее квадратическое отклонение: σx = 2,01 ≈ 1,42.

Коэффициент вариации

Величины σx2 и σx показывают абсолютное отклонение от среднего значения случайной величины, что недостаточно характеризует уровень её рассеивания. Относительной характеристикой рассеивания является коэффициент вариации, вычисляемый как отношение среднего квадратического отклоне-

Коэффициент вариации можно использовать для сравнения меры рассеивания случайных величин, имеющих различную размерность.

1.2.1.2. Законы распределения дискретных случайных величин

Соответствие между отдельными возможными значениями случайной величины и их вероятностями называется законом распределения дискретной случайной величины.

Табличный закон распределения

Ряд распределения представляет собой таблицу, в которой перечислены возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности:

20