golunova_l_v_matematicheskie_modeli_v_transportnyh_raschetah
.pdf
4. В ячейке D3 находим σ (рисунок 1.39).
Рисунок 1.39 – Вычисление основных числовых характеристик
Выполнив подготовительные вычисления, переходим к основным вычислениям:
5.В ячейке E1 зададим формулу = (A1–$D$1)/ $D$3 и скопируем ее в ячейки E2:Е5.
6.В ячейке F1 задаем формулу = EXP((–1)*E1^2/2)/ (2*ПИ())^ (1/2) и копируем в ячейки F2:F5.
7.В столбце G вычислим теоретические частоты. Исходная формула, помещаемая в ячейку G1: = Fl*50*0,7/$D$3.
8.В ячейку H1 введем формулу = (G1–B1)^2/G1 и скопируем её в диапазон H2:Н5.
9.В ячейке H6 вычислим сумму диапазона H1:Н5. Это и будет наблюдаемое значение критерия χ2 (рисунок 1.40).
Рисунок 1.40 – Вычисление критерия К. Пирсона
10.Открываем диалоговое окно ХИ2ОБР, чтобы найти критическое значение критерия. Задаем данные и считываем результат (рисунок 1.41).
Рисунок 1.41 – Диалоговое окно ХИ2ОБР
51
Так как наблюдаемое значение критерия меньше критического, то гипотеза принимается.
Примечание 1. Теоретические частоты столбца G можно вычислить и более простым способом. Пусть выполнены пункты 1–4. Выделим ячейку E1 и откроем диалоговое окно НОРМРАСП, зададим данные (рисунок 1.42).
Рисунок 1.42 – Диалоговое окно НОРМРАСП
Результат поместим в E1 и копированием формулы ячейки E1 заполним диапазон E2:Е5. В ячейку F1 введем формулу = El*35, так как n·h = 35, скопируем ее в диапазон F2:F5, таким образом, в столбце F получим значения теоретических частот
(рисунок 1.43).
Рисунок 1.43 – Результаты вычислений
Примечание 2. Получив значения теоретических частот, проверить гипотезу о нормальном законе распределения можно иначе, чем в пунктах 8–10. Откроем диалоговое окно ХИ2ТЕСТ
(рисунок 1.44).
Рисунок 1.44 – Диалоговое окно ХИ2ТЕСТ
52
Так как полученное значение вероятности P(χ2НАБЛ) больше 0,5, то отвергать гипотезу нет оснований.
Примечание 3. Зная вероятность P(χ2НАБЛ), можно найти
χ2НАБЛ (рисунки 1.43 и 1.45).
Получили то же самое значение, что и в ячейке H6 (рису-
нок 1.40).
Рисунок 1.45 – Диалоговое окно ХИ2ОБР
1.6. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
1.6.1. Дискретные случайные величины
1) Определите математическое ожидание и дисперсию числа остановок автобуса перед светофорами на маршруте, если случайная величина X – число остановок – задана таблицей распределения:
xi |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
p(xi) |
0,05 |
0,05 |
0,2 |
0,5 |
0,1 |
0,1 |
2) Определите среднее квадратическое отклонение числа отказов оборудования, если случайная величина X – число отказов оборудования – задана таблицей распределения. Определите коэффициент вариации случайной величины X.
xi |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
4 |
5 |
6 |
p(xi) |
0,3 |
0,1 |
0,05 |
0,1 |
|
0,2 |
0,2 |
0,05 |
3) Предприятие имеет 16 автомобилей, |
работающих незави- |
|||||||
симо друг от друга. Определите математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение числа отказов автомобилей, если вероятность отказа любого из них p = 0,3.
4) Число проверок предприятия в течение года инспекцией является случайной величиной, имеющей распределение Пуассона. Определите вероятность того, что на предприятии будет произведена в течение календарного года одна или хотя бы одна проверка, если среднее число проверок на данном временном интервале а = 4.
53
5) На предприятии работает 50 станков. Вероятность отказа каждого из них – 0,002. Число отказов станков – случайная величина, имеющая распределение Пуассона. Определите вероятность безотказного функционирования всех элементов.
6) На предприятии работает 50 специалистов, вероятность невыхода специалиста на работу по причине болезни равна 0,001. Число заболевших специалистов – случайная величина, имеющая распределение Пуассона. Определите вероятность выхода на работу всех специалистов.
7) Предприятие имеет 5 станков по производству камня, работающих независимо друг от друга. Вероятность отказа любого из них p = 0,25. Определите параметры закона биномиального распределения случайной величины – число отказов станков.
8) Определите среднее квадратическое отклонение и дисперсию числа отказов автомобилей, если случайная величина X – число отказов автомобилей – задана таблицей распределения:
xi |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
p(xi) |
0,2 |
0,15 |
0,15 |
0,1 |
0,25 |
0,04 |
0,06 |
0,05 |
9) Пусть ежедневные расходы на обслуживание и рекламу автомобилей в автосалоне составляют в среднем 120 тыс. д. е., а число продаж Х автомашин в течение дня подчиняется табличному закону распределения. Найдите математическое ожидание и дисперсию ежедневной прибыли при цене машины в
150 тыс. д. е.
xi |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
p(xi) |
0,25 |
0,2 |
0,1 |
0,1 |
0,1 |
0,1 |
0,05 |
0,05 |
0,025 |
0,025 |
10) Из коробки с пятью деталями, среди которых четыре стандартных, наудачу взяты три детали. Составьте закон распределения дискретной случайной величины X – количества стандартных деталей среди отобранных.
11) Книга издана тиражом 100 тыс. экземпляров. Вероятность брака в экземпляре равна 0,0001. Найдите вероятность того, что тираж содержит ровно 5 бракованных книг.
12) Найдите дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, заданной табличным законом распределения:
54
xi |
–5 |
2 |
3 |
4 |
p(xi) |
0,4 |
0,3 |
0,1 |
0,2 |
13) Найдите дисперсию дискретной случайной величины X – числа отказов элемента некоторого устройства в 10 независимых опытах, если вероятность отказа элемента в каждом опыте равна 0,9.
14) Случайная дискретная величина задана табличным законом распределения. Найдите математическое ожидание и дисперсию. Постройте функцию распределения.
xi |
–5 |
2 |
3 |
4 |
p(xi) |
0,4 |
0,3 |
0,1 |
0,2 |
15) Вероятность того, что в течение часа на станцию скорой помощи не поступит ни одного вызова, равна 0,00248. Считая, что число вызовов X, поступающих в течение часа на станцию, имеет распределение Пуассона, найдите математическое ожидание и дисперсию.
16) Рассматривается работа трех независимо работающих технических устройств (ТУ). Вероятность нормальной работы первого ТУ равна 0,2, второго – 0,4, третьего – 0,5. Постройте закон распределения числа работающих ТУ. Найдите М(Х),
D(X), σx.
17)Найдите математическое ожидание и дисперсию числа бракованных деталей, если проверяется партия из 10000 деталей, а вероятность того, что деталь окажется бракованной, равна
0,005.
18)В техническом устройстве работают независимо два блока.
Вероятность безотказной работы первого блока p1 = 0,4; второго – p2 = 0,7. Случайная величина X – число работающих блоков. Найдите М(Х), D(X), σx.
19)В шкафу находится 9 приборов. Из них 5 новых и 4 бывших в употреблении. Из шкафа наугад извлекается 4 прибора. Случайная величина X – число новых приборов среди вынутых. Постройте ряд распределения случайной величины X. Вычис-
лите М(Х), D(X), σx.
20) Вероятность попадания стрелка в мишень равна 0,5. Стрелок, имея в запасе 6 патронов, ведет огонь по мишени до пер-
55
вого попадания или до полного израсходования всех патронов. Составьте таблицу распределения вероятностей случайного числа израсходованных патронов.
21)Имеется десять студенческих групп, насчитывающих соответственно 12, 10, 11, 8, 12, 9, 10, 8, 10 и 11 студентов. Составьте закон распределения случайной величины X, определяемой как число студентов в наугад выбранной группе. Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.
22)Вероятность того, что при трех выстрелах стрелок попадает в цель хотя бы один раз, равна 0,992. Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа X попаданий при двадцати выстрелах.
23)На факультете успеваемость составляет 90 %. Наудачу выбираются 40 студентов. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайного числа успевающих студентов, оказавшихся в выбранной группе.
24)Передается n = 5 сообщений по каналу связи. Каждое сообщение с вероятностью p = 0,3 независимо от других искажается. Случайная величина X – число искаженных сообщений. Составьте закон распределения. Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение непосредственно по таблице распределения и по специальным формулам и сравните их.
25)Из 15 жетонов, занумерованных целыми числами от 1 до 15, наудачу извлекаются 3 жетона. Составьте таблицу распределения вероятностей для числа выбранных жетонов, номера которых кратны пяти. Найдите математическое ожидание этой случайной величины, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
1.6.2.Непрерывные случайные величины
1)Объем продаж товара в течение месяца есть случайная величина, подчиненная нормальному закону распределения с пара-
метрами X = 500 и σх = 120 д. е. Определите вероятность продажи товара в течение одного месяца на сумму от 480 до 600 д. е.
56
2)Средняя часовая выручка магазина B = 100 д. е. Среднее
квадратическое отклонение часовой выручки σB = 25 д. е. Часовая выручка есть случайная величина, подчиненная нормальному закону распределения. Определите вероятность получения в течение одного часа выручки в размере от 80 до 120 д. е.
3)Случайная величина X распределена нормально с математическим ожиданием равным 25. Вероятность попадания X в интервал (10, 15) равна 0,2. Найдите вероятность попадания X в интервал (35, 40).
4)Непрерывная случайная величина X задана на всей оси 0X функцией распределения F(x) = 1/2 + (arctg(x))/π. Найдите вероятность того, что величина X примет значение, заключенное в интервале (0, 1).
5)Случайная величина X задана плотностью распределения f(х) = е–|х|/2. Найдите математическое ожидание и дисперсию.
6)Случайная величина X распределена нормально с математическим ожиданием а = 25. Вероятность попадания X в интервал (10; 15) равна 0,2. Чему равна вероятность попадания X в ин-
тервал (35;40)?
7)Случайная величина X подчинена нормальному закону распределения с математическим ожиданием а = 50. Определите дисперсию случайной величины X, если известно, что вероятность принятия случайной величиной значения в интервале (50;
60)равна 0,3413.
8)Случайная величина X подчинена нормальному закону с математическим ожиданием а = 0. Вероятность попадания X в ин-
тервал (–b; b) равна 0,5. Найдите σx и напишите закон нормального распределения.
9)Случайная величина X распределена по экспоненциальному
закону: |
0, |
x < 0 |
, |
f (x) = |
−λx , x ≥ 0 |
||
|
λe |
|
|
|
|
|
|
где λ > 0 – параметр распределения.
Постройте кривую распределения. Найдите функцию F(x) и постройте ее график. Найдите математическое ожидание и дисперсию. Найдите вероятность того, что случайная величина X примет значение меньше, чем ее математическое ожидание.
57
10) Случайная величина X подчинена закону Лапласа: f(х) = aе–λ|х|, λ > 0. Найдите коэффициент а. Постройте графики плотности распределения f(x) и функции распределения F(x). Най-
дите М(Х), D(X), σx.
11) Случайная величина X распределена по закону «прямоугольного треугольника» в интервале (0; а). Напишите выражение для плотности распределения f(x). Найдите функцию распределения F(x) и постройте ее график. Найдите вероят-
ность попадания X в интервал a |
, a |
. Найдите М(Х), D(X), σx. |
2 |
|
|
12) Случайная величина X подчиняется закону Симпсона (закону «равнобедренного треугольника») в интервале (–a; а). Напишите выражение для плотности распределения f(x). Найдите функцию распределения F(x) и постройте ее график. Найдите
вероятность попадания X в интервал |
a |
|
. Найдите М(Х), |
|
, a |
||
D(X), σx. |
2 |
|
|
|
|
|
13) Случайная величина X распределена по равномерному за-
|
|
0, |
x ≤ a |
кону: |
|
1 |
, a < x ≤ b . |
f (x) = |
|
||
|
|||
|
b −a |
x > b |
|
|
|
0, |
|
Найдите функцию распределения F(x), вероятность того, что случайная величина X попадет в интервал (х1; х2); математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X); среднее квадратическое отклонение σx. Постройте графики f(x) и F(x).
14) Случайная величина X имеет плотность вероятности:
|
|
|
|
x ≤ − |
π |
|
0, |
|
|
2 |
|||
|
1 |
|
π |
|
|
|
|
cos x, − |
< x ≤ |
|
π |
||
f (x) = |
2 |
2 |
|
2 |
||
|
|
|
|
|||
|
0, |
|
x > |
π |
||
|
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
||
Найдите функцию распределения F(x), постройте ее график и определите по графику вероятность того, что случайная вели-
чина 5 примет значение в интервале |
− |
π |
,0 . Найдите М(Х), |
|
|
2 |
|
D(X), σx. |
|
|
|
58
|
|
0, |
|
|
x ≤1 |
15) Дана плотность распределения X: |
|
|
1 |
,1 |
< x ≤ 2 . |
f (x) = x − |
2 |
||||
|
|
0, |
|
x > 2 |
|
|
|
|
|
||
Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины X, вычислите среднее квадратическое отклонение.
16) |
Плотность распределения случайной величины X имеет |
|||
|
0, |
|
x ≤ 0 |
|
вид: |
|
1 |
x, |
0 < x ≤ a, где a > 0 . |
f (x) = |
|
|||
|
a |
|
x > a |
|
|
0, |
|
||
Найдите параметр а. Постройте график функции f(x). Используя свойства графика, найдите вероятность того, что в результате испытания случайная величина X примет значение в интервале (1; 2). Найдите М(Х), D(X), σx.
0, |
x ≤1 |
|
||
|
|
|
. |
|
17) Дана плотность распределения: f (x) = a |
, x >1 |
|||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||
x |
|
|
|
|
Определите коэффициент а, функцию распределения F(x); вероятность попадания случайной величины X в интервал (2; 3), постройте графики F(x) и f(x).
18) Функция распределения задана выражением:
0, |
x ≤ 0 |
|
0 < x ≤ a, гдеa > 0 . |
f (x) = x2 , |
|
|
x > a |
0, |
Найдите плотность распределения f(x), вероятность попадания случайной величины X в интервал (0,25; 0,5), вероятность того, что X примет значение меньше 0,3, вероятность того, что X примет значение больше 0,7; постройте графики F(x) и f(x), найдите М(Х), D(X), σx.
19) Случайная величина X задана функцией распределения:
|
0, |
|
|
|
|
x ≤ −2 |
||
|
1 |
|
1 |
|
x |
|
−2 < x ≤ 2 . |
|
f (x) = |
|
+ |
|
arcsin |
|
, |
||
2 |
π |
2 |
||||||
|
|
|
|
x > 2 |
||||
|
1, |
|
|
|
|
|||
Найдите вероятность того, что случайная величина X примет значение в интервале (–1;1). Постройте график функции F(x).
59
20) Случайная величина X задана функцией распределения:
0, |
|
x ≤ 0 |
|
1 |
3 |
, 0 |
< x ≤ 2 . |
f (x) = |
x |
||
8 |
|
|
x > 2 |
1, |
|
||
Постройте график функции F(x) и найдите вероятность того, что случайная величина X примет значение в интервале (0,5; 1,5). Определите вероятность того, что X примет значение меньше 1; больше 1.
21)Срок службы прибора представляет собой случайную величину, подчиненную нормальному закону распределения, с гарантией на 15 лет и средним квадратическим отклонением 3 года. Определите вероятность того, что прибор прослужит от
10 до 20 лет.
22)Дана функция распределения непрерывной случайной ве-
|
|
0, |
x ≤ 0 |
|
|
|
|||
личины: f (x) = |
sin 2x, |
0 < x ≤ π. |
||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
1, |
x > |
π |
|
|
4 |
||
|
|
|
|
|
Найдите плотность распределения f(x), постройте её график и найдите вероятность попадания X в интервал (0; π/8).
23) Дана функция распределения случайной величины X:
|
|
0, |
x ≤ |
|
|
||
|
2 |
x −4, 2a < x |
|
f (x) = |
|
||
a |
|
|
|
|
|
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a
≤ 52 a .
Найдите плотность распределения f(x). Постройте график функций F(x) и f(x) при а = 1. Вычислите вероятность того, что X попадет в интервал (2а; 2,3а) двумя способами: по формуле
Р(а ≤ Х < b) = F(b) – F(a) и по формуле P(a ≤ X < b) = ∫b f(x) dx.
a
24) Случайная величина X распределена по закону Коши: f (x) = 1+ax2 . Найдите коэффициент а, функцию распределения
F(x), вероятность попадания величины X в интервал (–1; 1).
60