- •Теория множеств и элементы математической логики
- •Тема 1.1. Представления о множествах Интуитивные представления (Элемент, принадлежность, равенство, интуитивный принцип объемности).
- •Подмножества (Включение, универсум, пустое множество, множество всех подмножеств р(а)).
- •Операции над множествами (Объединение (сумма), пересечение, разность, симметрическая разность, дополнение).
- •Контрольные задания
- •Теория множеств
- •Контрольная работа № 1
- •Вариант № 1
- •Контрольные задания теория множеств вариант № 2
- •Контрольные задания теория множеств вариант № 3
- •Тема 1.2. Введение в математическую логику
- •Исчисление высказываний (Семантика, синтаксис).
- •1. Если а, (а в) - тавтологии, то тавтологией является в.
- •Контрольные задания
- •Вариант № 2
- •Вариант № 3
- •Аксиоматическое поле действительных чисел
- •Определение 2Нетривиальное множество элементов, обладающих свойствами 1. – 6., называется множеством действительных чисел (r). Каждый элемент этого множества называется действительным числом.
- •1). Число, обладающее свойством нуля, единственно.
- •2). Число, противоположное данному, единственно.
- •7) Число, обладающее свойством единицы, единственно.
- •8) Число, обратное данному, отличное от нуля, единственно.
- •3.7. Системы счислениния
- •Двоичная система счисления.
- •4.1. Аксиоматика натуральных чисел
- •Теория вероятностей и математическая статистика Теория вероятностей Введение
- •I. Предмет теории вероятностей и историческая справка.
- •II. Понятие частоты случайного события. Статистическое определение вероятности.
- •III. Пространство элементарных событий.
- •IV. Алгебра событий.
- •V. Определение вероятности и вероятностного пространства.
- •Математическая статистика выборочный метод
- •§ 1. Задачи математической статистики
- •§ 2. Краткая историческая справка
- •§ 3. Генеральная и выборочная совокупности
- •§ 4. Повторная и бесповторная выборки. Репрезентативная выборка
- •§ 5. Способы отбора
- •§ 6. Статистическое распределение выборки
- •§ 7. Полигон и гистограмма
Двоичная система счисления.
Самая часто употребимая система счета – это счет двойками. За основу взято число два. Две единицы образуют уже второй разряд – разряд двоек, две двойки – это третий разряд – разряд четверок. Следующий разряд – это четверки и т.д.
Число в двоичной системе изображается только двумя цифрами – единицей и нулем. Единица второго разряда – это два. Единица третьего разряда – четыре, (т.к. 2*2 = 4). Единица четвертого разряда – восемь (2*2*2 = 8), пятого – 8*2 = 16 и т.д.
Примеры:
В двоичной системе число 101 – это не сто один как в десятеричной. В этом числе последняя цифра – разряд единиц – один. Ноль показывает, что второго разряда нет, т.е. двоек, нет. Первая в числе единица – это единица третьего разряда, т.е. четверка; следовательно, 101 – это 4 + 0 + 1 = 5.
А в числе 1110 по двоичной системе единиц ноль, т.е. их нет. Во втором разряде – одна двойка, в третьем – одна четверка, в четвертом – цифра 1 означает, что в этом случае ее надо принять за 8. Все число составит 8 + 4 + 2 + 0 = 14.
Вычисления в такой системе счисления самые простые, но требуют длинных записей, на что тратится много времени.
Упражнения:
Какое самое большое число можно записать тремя цифрами в десятеричной системе счисления, в двоичной системе счисления?
Сколько необходимо цифр для того, чтобы записать все двузначные цифры?
Постройте пятеричную систему счисления?
Контрольные вопросы:
Сформулируйте теорему о делении натуральных чисел с остатком, а теперь воспользуйтесь этим алгоритмом и разделите два любых натуральных числа.
Сформулируйте теорему о разложении натурального числа.
Что мы называем позиционной записью числа?
Какие еще системы счисления вы знаете?
Контрольные задачи:
Доказать, что свойство непрерывности действительных чисел равносильно следующему: каковы бы ни были непустые множества А R, В R, у которых для любых элементов а А, b B выполняются неравенства а b, существует такое число , что для всех а А и b B имеет место соотношение а b.
Опишите процесс измерения длины отрезка, если отчет о нем представляется дробью:
а) 3,46; |
б) 3,(7); |
в) 3,2(6.) |
Известно, что любое число можно изобразить точкой на числовой прямой. Исчерпывают ли точки с рациональными координатами всю координатную прямую? А точки с действительными координатами?
Посчитайте, какова толщина листа бумаги.
Сделайте простую линейку для деления величин на целое число частей, в пределах 10.
Вычислите несколько знаков бесконечной десятичной дроби, изображающей число .
Доказать, что между любыми двумя различными действительными числами имеется рациональное число.
Доказать, что неравенство эквивалентно соотношениям.
Доказать, что для любых двух действительных чисел а и b справедливо неравенство .
Решить уравнение , используя числовую ось.
Обладают ли операции вычитания и деления свойствами коммутативности и ассоциативности?
Может ли сумма рационального и иррационального чисел числом рациональным?
Может ли сумма двух рациональных чисел быть рациональным числом?