§ 6. Статистическое распределение выборки

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем х₁ наблюдалось п₁ раз, х_г - п₂ раз, ∑п_i = n - объем выборки. Наблюдаемые значения х_i называют вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке, — вариа­ционным рядом. Числа наблюдений называют частотами, а их отношения к объему выборки n_i/n = W_i - относи­тельными частотами.

Статистическим распределением выборки называют пе­речень вариант и соответствующих им частот или относи­тельных частот. Статистическое распределение можно за­дать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот (в качестве частоты, соответствующей интервалу, принимают сумму частот, попавших в этот интервал).

Заметим, что в теории вероятностей под распределением понимают соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, а в математи­ческой статистике — соответствие между наблюдаемыми вариантами и их частотами, или относительными частотами.

Примеp. Задано распределение частот выборки объема n = 20:

Х_i - 2, 6, 12 ;

n_i. 3 10 7.

Написать распределение относительных частот.

Решение. Найдем относительные частоты, для чего разделим

частоты на объем выборки:

W1 = 3/20 = 0,15, W2 = 10/20=0,50, W3 = 7/20=0,35.

Напишем распределение относительных частот:

_Xi 2 6 12

W; 0,15 0,50 0,35

Контроль: 0,15 + 0,50 + 0.35 = 1.

§ 7. Полигон и гистограмма

Для наглядности строят различные графики ста­тистического распределения и, в частности, полигон и гистограмму.

Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (х₁ ; n₁), (х₂; п₂), ..., (х_к; n_k). Для по­строения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты х_к, а на оси ординат — соответствующие им частоты п_k. Точки соединяют отрезками прямых и получают полигон частот.

Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки {х_х; W_t), {x₂; W₂), ... (x_k; W_k;).

Для построения полигона относительных частот на оси абсцисс откладывают варианты x_k а на оси ординат—соответствующие им относительные ча­стоты W_k;. Точки соединяют отрезками прямых и получают полигон отно­сительных частот.

На рис. 20 изображен полигон относительных ча­стот следующего распре­деления:

X 1,5 .4,5 5,5 7,5

W 0,1 0,2 0,4 0,3

Задача

Построить полигоны частот и относительных частот распре­ деления

Х_i 1 3 5 7 9

n_i 10 15 30 33 12