4.1. Аксиоматика натуральных чисел

Наряду с геометрией арифметика является наиболее непосредственно интуитивной областью математики. Вполне естественно, поэтому именно с арифметики начать попытку формализации и строгого обоснования математики. Первое полуаксиоматическое построение этой дисциплины было предложено Дедекиндом (1901) и стало известно под названием “системы аксиом Пеано”. Эту систему можно сформулировать следующим образом:

1. 1 есть натуральное число;

2. для любого натурального числа х существует другое натуральное число, обозначаемое х и называемое: (непосредственно) следующее за х;

3. 1  х для любого натурального числа;

4. если х = y, то х = y;

5. если Q есть свойство, которым, быть может, обладают одни и не обладают другие натуральные числа, и если

   1. натуральное число 1 обладает свойством Q;

   2. для всякого натурального числа х из того, что х обладает свойством Q, следует, что и натуральное число х обладает свойством Q, то свойством Q обладают все натуральные числа (принцип математической индукции).

Так выстроенная аксиоматика позволяет моделировать натуральные числа как потенциальную бесконечность, как возможность. В этом смысле натуральные числа могут быть рассмотрены как порядковые числа, то есть моделируются как представители: первый, второй, третий и т.д., в отличие от моделирования количественных представлений. К этому вопросу мы вернемся в последующих параграфах.

Контрольные вопросы:

1. Сформулируйте систему аксиом Пеано (Дедекинда). Для чего она необходима?

2. В чем состоит принцип математической индукции?

3. Определите множество натуральных чисел как вполне упорядоченное кольцо.

4. Что такое порядковый тип числа?

5. Постройте модель натурального числа.

6. В чем заключается двойственная природа чисел?

Контрольные задачи:

1. Сформулируйте определение отношения a > b и докажите, что оно транзитивно и антисимметрично.

2. Докажите, что если a, b, c – натуральные числа, то:

а) a  b  ac  bc;

в) a + c < b + c  a < b.

3. Опишите в общем виде процесс доказательства методом математической индукции. Из скольких этапов он состоит? Используя метод математической индукции, докажите, что для любого натурального числа n истины утверждения:

а) ; б) ; в) ;

г) (n3 + 3n)/6; д) (4n + 15n - 1)/9; е) (62n-1 + 1)/7.

Теория вероятностей и математическая статистика Теория вероятностей Введение

Предмет теории вероятностей. Наблюдаемые нами события (явления) можно подразделить на следую­щие три вида: достоверные, невозможные и случайные. Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная сово­купность условий S. Например, если в сосуде содержится вода при нормальном атмосферном давлении и темпера­туре 20°, то событие «вода в сосуде находится в жидком состоянии» есть достоверное. В этом примере заданные атмосферное давление и температура воды составляют совокупность условий S.

Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность усло­вий S. Например, событие «вода в сосуде находится в твердом состоянии» заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий предыдущего примера.

Случайным называют событие, которое при осуществле­нии совокупности условий 5 может либо произойти, либо не произойти. Например, если брошена монета, то она может упасть так, что сверху будет либо герб, либо над­пись. Поэтому событие «при бросании монеты выпал «герб» - случайное. Каждое случайное событие, в частно­сти выпадение «герба», есть следствие действия очень многих случайных причин (в нашем примере: сила, с которой брошена монета, форма монеты и многие другие). Невозможно учесть влияние на результат всех этих при­чин, поскольку число их очень велико и законы их действия неизвестны. Поэтому теория вероятностей не ставит перед собой задачу предсказать, произойдет еди­ничное событие или нет, - она просто не в силах это сделать.

По-иному обстоит дело, если рассматриваются случай­ные события, которые могут многократно наблюдаться при осуществлении одних и тех же условий S, т. е. если речь идет о массовых однородных случайных событиях. Оказывается, что достаточно большое число однородных случайных событий независимо от их конкретной природы подчиняется определенным закономерностям, а именно вероятностным закономерностям. Установлением этих за­кономерностей и занимается теория вероятностей.

Итак, предметом теории вероятностей является изу­чение вероятностных закономерностей массовых однород­ных случайных событий.

Знание закономерностей, которым подчиняются массо­вые случайные события, позволяет предвидеть, как эти события будут протекать. Например, хотя, как было уже сказано, нельзя наперед определить результат одного бросания монеты, но можно предсказать, причем с не­большой погрешностью, число появлений «герба», если монета будет брошена достаточно большое число раз. При этом предполагается, конечно, что монету бросают в одних и тех же условиях.

Методы теории вероятностей широко применяются в различных отраслях естествознания и техники: в теории надежности, теории массового обслуживания, в теоретической физике, геодезии, астрономии, теории стрельбы, l теории ошибок наблюдений, теории автоматического управ­ления, общей теории связи и во многих других теорети­ческих и прикладных науках. Теория вероятностей служит также для обоснования математической и прикладной статистики, которая в свою очередь используется при планировании и организации производства, при анализе технологических процессов, предупредительном и прие­мочном контроле качества продукции и для многих дру­гих целей.

В последние годы методы теории вероятностей все шире и шире проникают в различные области науки и техники, способствуя их прогрессу.

Краткая историческая справка. Первые работы, в ко­торых зарождались основные понятия теории вероятно стей, представляли собой попытки создания теории азартных игр (Кардано, Гюйгенс, Паскаль, Ферма и дру­гие в XVI—XVII вв.).

Следующий этап развития теории вероятностей связан с именем Якоба Бернулли (1654—1705). Доказанная им теорема, получившая впоследствии название «Закона больших чисел», была первым теоретическим обоснованием накопленных ранее фактов.

Дальнейшими успехами теория вероятностей обязана Муавру, Лапласу, Гауссу, Пуассону и др.

Новый, наиболее плодотворный период связан с име­нами П. Л. Чебышева (1821—1894) и его учеников А.А.Маркова (1856—1922) и А.М.Ляпунова (1857—1918). В этот период теория вероятностей становится стройной математической наукой. Ее последующее развитие обязано в первую очередь русским и советским математикам (С. Н. Бернштейн, В. И. Романовский, А. И. Колмогоров, А. Я. Хинчин, Б. В. Гнеденко, И. В. Смирнов и др.). В настоящее премя ведущая роль в создании новых ветвей теории вероятностей также принадлежит советским математикам.

Комбинаторика – раздел математики, который посвящен решению задач выбора и расположения элементов некоторого (конечного) множества в соответствии с заданным правилом, а так же подсчету числа возможных конфигураций. Общие задачи пересчета связаны с выборкой некоторого числа элементов из заданного базисного множества Х, состоящего из n элементов (n-множества). Такие задачи полезно делить на типы в зависимости от того, как выбираются элементы: с повторением или без повторения, с учетом порядка выбора или без него.

Пример 1. В мешке 2 типа конфет А и В. Ребенку разрешили взять 2. Сколькими способами он может взять конфеты.

Возможны 4 различных уточнения. 1. Повторения возможны и порядок важен. АА, АВ, ВА, ВВ. 2. Нельзя брать одинаковые, но порядок важен: АВ, ВА. 3. Повторения возможны, но порядок не имеет значения: АА, АВ, ВВ. 4. Нельзя брать одинаковые и порядок не имеет значения: АВ.

Чтобы различать на уровне терминологии тип конкретной задачи, введем несколько определений. Любое подмножество Y мощности k базисного n-множества – выборка объема k из n элементов или (n,k)-выборка. Выборка называется упорядоченной, если порядок следования элементов в ней задан, т.е. две выборки, различающиеся лишь порядком следования элементов, считаются разными. В противном случае выборка называется неупорядоченной (в примере 1, 2 - упорядоченные выборки, а 3,4 – нет).

• (n,k)-размещением без повторений называется упорядоченная (n,k)-выборка, в которой элементы не могут повторяться.

• (n,k)-размещением с повторениями называется упорядоченная (n,k)-выборка, в которой элементы могут повторяться.

• (n,k)-сочетанием без повторений называется неупорядоченная (n,k)-выборка, элементы которой не могут повторяться.

• (n,k)-сочетанием с повторениями называется неупорядоченная (n,k)–выборка, элементы которой могут повторяться.

Число (n,k)-размещений без повторений обозначается и определяется формулой:. Приn=k получаем число возможных упорядочений n-множества (число перестановок):

Число (n,k)-размещений с повторениями .

Число (n,k)-сочетаний без повторений обозначается и определяется формулой:.

Число (n,k)-сочетаний с повторениями равно .

	Порядок существенен		Порядок не существенен
	Название	Число	Название	Число
Элементы повторяются	Размещение с повторением		Сочетание с повторением
Элементы не повторяются	Размещение без повторения		Сочетание без повторения

Пример 2. Секрет замка. Всего 12 букв, секретное «слово» состоит из 5 букв. Число различных кодов замка .

Пример 3. Найти число возможных распределений золотой, серебряной и бронзовых медалей в первенстве страны по футболу, если в нем участвует16 команд.

Пример 4. Сколькими способами можно разбить на подгруппы из 4 человек 16 участников шахматного первенства. .

Пример 5. Сколько различных вариантов можно получить, бросая 5 игральных костей?

Результат бросания 5 костей можно рассматривать как неупорядоченный набор 5 объектов (для каждого из которых есть 6 вариантов) с повторениями, т.е. это (6,5)-сочетание с повторениями. По общей формуле получаем общее число вариантов: .