IV. Алгебра событий.

Если множество – пространство элементарных событий, то любое случайное событие является его подмножеством. В случае, когдаконечное или счетное множество любое подмножество – это событие. Но если– несчетное множество, случайными событиями являются не все подмножества, а только определенный класс подмножеств, который будет введен после определения операций над событиями. Событие–достоверное событие, а событие –невозможное событие.

1. Сумма событий. . Пример. Диаграмма.

2. Произведение событий. . Пример. Диаграмма.

3. Разность событий. . Пример. Диаграмма.

4. Противоположное событие. , т.е. событиеА не происходит. Пример. Диаграмма.

События А и В называются несовместными, если . Если,то наступление событияА влечет за собой событие В. События А и В называются равными или равносильными (А=В), если и.

Определение суммы и произведения событий переносится на бесконечную последовательность событий: ,.

Свойства операций над событиями – это фактически свойства операций над множествами, т.к. а противоположное событие соответствует операции дополнения.

Определение 1.3. Класс подмножеств пространства элементарных событийназываетсяалгеброй событий, если 1) , 2)(класс замкнут относительно операций). Если замкнут относительно бесконечных сумм и произведений, то класс называется–алгеброй (сигма–алгеброй).

V. Определение вероятности и вероятностного пространства.

Не существует определения вероятности, по которому можно найти числовое значение вероятности события в любой задаче. В качестве общего определения используют аксиоматическое определение (система аксиом определяется неоднозначно). Выделяются условия, которым должна удовлетворять любая функция, претендующая на роль вероятностной функции. Эти условия являются не чем иным, как обобщенными (характеристическими) свойствами частоты события.

Определение 1.4 (аксиоматическое определение вероятности). Числовая функция Р=Р(А), определенная на алгебре событий () называетсявероятностью, если выполняются следующие аксиомы:

А1. для(аксиома неотрицательности).

А2. (аксиома нормированности).

А3. для любых несовместных событий(аксиома аддитивности).

В некоторых случаях добавляют аксиому расширенной аддитивности.

А4., если ,.

Определение 1.5. Тройка , где– пространство элементарных событий,– алгебра событий иР – вероятностная функция, удовлетворяющая аксиомам А1–А3 (А1–А4) называется вероятностным пространством.

Вероятностное пространство – это самая общая модель случайного явления.

Математическая статистика выборочный метод

§ 1. Задачи математической статистики

Установление закономерностей, которым подчи­нены массовые случайные явления, основано на изучении методами теории вероятностей статистических данных — результатов наблюдений.

Первая задача математической статистики - указать способы сбора и группировки статистических сведений, полученных в результате наблюдений или в результате специально поставленных экспериментов.

Вторая задача математической статистики - разрабо­тать методы анализа статистических данных в зависи­мости от целей исследования. Сюда относятся:

а) оценка неизвестной вероятности события; оценка неизвестной функции распределения; оценка параметров распределения, вид которого известен; оценка зависи­мости случайной величины от одной или нескольких случайных величин и др.;

б) проверка статистических гипотез о виде неизвест­ного распределения или о величине параметров распре­ деления, вид которого известен.

Современная математическая статистика разрабатывает способы определения числа необходимых испытаний до начала исследования (планирование эксперимента), в ходе исследования (последовательный анализ) и решает многие другие задачи. Современную математическую статистику определяют как науку о принятии решений в условиях неопределенности.

Итак, задача математической статистики состоит в со­здании методов сбора и обработки статистических данных для получения научных и практических выводов.