Контрольные задания

ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ МАТЕМАТИКИ

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3

ВАРИАНТ № 1

ЗАДАЧА 1. Записать следующие сложные высказывания в виде логических формул, обозначая элементарные васказывания буквами :

а) если я не пойду в гости, то успею решить задачу и приготовить обед;

б) студент получит зачет тогда только тогда, когда решит все три или две

задачи.

ЗАДАЧА 2. В выражении А  В  В А С расставить скобки всеми возможными способами так , чтобы получилась формула.

ЗАДАЧА 3. Составить таблицу истинности для формулы F=((( A ) (BC))  A).

ЗАДАЧА 4. Доказать тождественную истинность следующих формул :

а) (((А  В) ) ( (А )( В)));

б) ( ((А)  ( В))  (В А)).

ЗАДАЧА 5. Решить задачу 5 из контрольной работы № 1, используя логические формулы.

ЗАДАЧА 6. Доказать эквивалентность формул (А  (В С)) и ((А  В)  (А  С)).

ЗАДАЧА 7. Доказать полноту логических связок: , .

Вариант № 2

ЗАДАЧА 1. Записать следующие сложные высказывания в виде логических формул, обозначая элементарные васказывания буквами :

а) если Петя пойдет в кино или на тренировку, то он не успеет выполнить домашнее задание;

б) шейх счастлив тогда и только тогда, когда имеет вино и услаждает свой слух пением.

ЗАДАЧА 2. В выражении А  С  А  В  С расставить скобки всеми возможными способами так , чтобы получилась формула.

ЗАДАЧА 3. Составить таблицу истинности для формулы F=((A  ((BC))).

ЗАДАЧА 4. Доказать тождественную истинность следующих формул :

а) (А ( (А В)  ( А  ( В))));

б) (А  (В  (А  В ))).

ЗАДАЧА 5. Решить задачу 5 из контрольной работы № 1, используя логические формулы.

ЗАДАЧА 6. Доказать эквивалентность формул ((А  В) ) и ( (А )( В));

ЗАДАЧА 7. Доказать полноту логических связок: , .

Вариант № 3

ЗАДАЧА 1. Записать следующие сложные высказывания в виде логических формул, обозначая элементарные васказывания буквами :

а) Петя ходит в кино тогда и только тогда, когда там показывают комедию или детектив;

б) если мистер Джонс счастлив, то миссис Джонс несчастлива, и если мистер Джонс несчастлив, то миссис Джонс счастлива.

ЗАДАЧА 2. В выражении  А  С  А  В  С расставить скобки всеми возможными способами так , чтобы получилась формула.

ЗАДАЧА 3. Составить таблицу истинности для формулы F=(A  ((B(CА)))).

ЗАДАЧА 4. Доказать тождественную истинность следующих формул :

а) (((А В))  ( (А)  ( В)));

б) (( (А  В)  А )  А ).

ЗАДАЧА 5. Решить задачу 5 из контрольной работы № 1, используя логические формулы .

ЗАДАЧА 6. Доказать эквивалентность формул (А  (В  С)) и ((А  В)  (А  С)).

ЗАДАЧА 7. Доказать полноту логических связок: , .

2. Аксиоматическое поле действительных чисел

Рассмотрим множество элементов. На нем заданы две бинарные операции, одну из которых назовем сложением, а другую умножением. И пусть на этом множестве задано отношение порядка. Пусть само множество, операции и отношения на нем обладают следующими свойствами:

1. Операция сложения. Обозначим ее “+”.

1)  а и b: a + b = b + a (коммутативное свойство);

2)  a, b и c: a + (b + c) = (a + b) + c (ассоциативное свойство);

3)  число 0, для  а: а + 0 = а (существует нейтральный элемент по сложению, который называется ноль или нуль и который обозначим через 0);

4)  а,  b: а + b = 0, b называется противоположным числом к а. Будем обозначать его (- b).

2. Операция умножения. Обозначим ее “*”.

1)  а, b: ab = ba (коммутативное свойство);

2)  a, b и c: a(bc) = (ab)c (ассоциативное свойство);

3)  элемент (обозначим его 1) такой, что для  а  0: а1 = а (существование нейтрального элемента по умножению)

4)  а  0,  b: ab = 1 (существование обратного элемента), где элемент b обозначим как а^-1 или (1/а).

3. Операции сложения и умножения связаны свойством дистрибутивного (распределительного) закона:  a, b и c: (a + b)c = aс +bc.

Упражнение: Доказать, что а0 = 0.

4. Упорядоченность. Бинарное отношение ≥ является отношением линейного порядка, т.е. отношение “” обладает свойствами:

1) рефлексивность;

2.  a и b из того, что a  b и a  b  a = b (антисимметричность);

3)  a и b, a  b и b  c  a  с (транзитивность), кроме того, операция сложения связана с тем, что для a, b, c и a  b  a + c  b + c;

2.  a, b и из того, что a  0, b  0  ab  0.

5. Аксиома Архимеда.  a, b,  n, что na > b. Эта аксиома позволяет утверждать, что ни при каких n n*1  0.

Определение 1 два множества А  R и B  R называются сечением множества действительных чисел R, если:

1)     R (т.е. каждое действительное число принадлежит хотя бы одному из множеств А и В);

2)    и   ;

3) каждое число множества А меньше любого числа множества В: если а  , b  В, то a < b (из этого свойства следует, что     , т.к. если бы нашелся такой х      х   и х  , то из 3) следовало бы, что х < х).

Множество А называется нижним, а В – верхним классом данного сечения.

Пример. Зафиксируем какое-либо число   R, отнесем сначала к множеству А все числа х  , а к множеству В – все числа y > : А = {x: х  }, B = {y: y > } (1). Можно поступить иначе: отнести к множеству А все числа х < , а к множеству В – все числа y  : А = {x: х < }, B = {y: y  } (2). В обоих случаях А и В образуют сечения. Сечение производится некоторым числом  и записывают в виде   .

Отметим два свойства сечений производящихся некоторым числом:

1. В случае (1) в классе А есть наибольшее число, им является число , а в классе В нет наименьшего числа. В случае (2) в классе А нет наибольшего, а в классе В есть наименьшее число, им является число .

2. Число, производящее сечение, единственно.

6. Непрерывность. Для каждого сечения АВ множества действительных чисел  число , производящее это сечение,   .

Свойство непрерывности состоит в том, что никаких других сечений действительных чисел, кроме тех, которые производятся некоторым числом, не существует.