I. Предмет теории вероятностей и историческая справка.

Теория вероятностей – это раздел математики, который изучает математические модели случайных явлений. Основой исследований в ТВ является наблюдение и опыт. Различают две основные характеристики опыта: случайное событие – качественная характеристика и случайная величина – количественная характеристика опыта. Случайное событие характеризуется тем, что исход опыта, в результате которого оно наблюдается, неоднозначен, так как зависит от многих факторов, каждый из которых отдельно не оказываете определяющего значения на результат. Случайная величина (функция, вектор и т.д.) принимает одно из своих возможных значений, до опыта неизвестно, какое именно. В ТВ рассматриваются (изучаются) массовые случайные события, которые возникают в результате осуществления условий, повторяющихся много раз. Теория вероятностей находит применение в различных разделах физики, в баллистике, лежит в основе математической и прикладной статистики.

Теория вероятностей зародилась в середине 17 века, первоначально была связана с решением задач в азартных играх (поиск стратегии выигрыша). Успехи в развитии ТВ в это время связаны с именами следующих ученых: Паскаль, Ферма, Гюйгенс. Во второй половине 17 века Яков Бернулли, на основе обобщения результатов множества опытов формулирует статистическое определение вероятности. В 18 веке развитие ТВ связано с именами Муавра, Лапласа, Гаусса, Пуассона. А в 19 веке ведущее положение в ТВ занимает Российская (Петербургская) математическая школа: Чебышев, Марков, Ляпунов. Их приемниками в 20 веке стали российские математики: Хинчин, Бернштейн, Колмогоров, Гнеденко и др.

II. Понятие частоты случайного события. Статистическое определение вероятности.

Проведем опыт (эксперимент), который заключается в подбрасывании игрального кубика (кости). В результате мы можем наблюдать одно из возможных случайных событий: «выпало k очков» (k=1,2,3,4,5,6). Обозначим через А событие «выпало 6 очков». Проведем наш опыт n раз, через n_A обозначим число опытов, в которых выпало 6 очков, т.е. произошло событие А.

Частотой случайного события А называется число (1). Экспериментально было установлено (Я. Бернулли), что с увеличением числа опытов () частота случайного события стремится к определенному числу (), т.е.. Это свойство называется статистической устойчивостью частот. Массовые случайные события этим свойством обладают. Ясно, что числоP(A) можно рассматривать, как объективную оценку возможности появления случайного события А. Сформулируем статистическое определение вероятности

Определение 1.1. Конечное число P(A), к которому стремится частота события А при неограниченном увеличении числа опытов, называется вероятностью этого события, т.е.

. (1.1)

Это определение грешит тем, что для определения вероятности нужно найти частоту, т.е. произвести опыты.

III. Пространство элементарных событий.

Мы хотим построить математическую модель случайного явления. Для этого, прежде всего, нужно дать математическое описание опыта, для исходов которого мы собираемся вычислять вероятность. Предварительно рассмотрим несколько примеров.

Пример 6. Опыт заключается в том, что один раз выбрасывают игральную кость. В результате возникают различные случайные события, например, выпало 1очко, выпало 3 очка, выпало 6 очков, выпало четное число очков и т.д. Первые три события неразложимы на более простые события, их принято называть элементарными событиями. Последнее событие происходит в том случае, если выпало или 2, или 4, или 6 очков, т.е. оно не является элементарным. Обозначим через событие «выпалоk очков». Тогда все элементарные события, которые могут наступить в нашем опыте, можно представить как множество . Любое составное событие можно интерпретировать как подмножество. Например, событие «выпало четное число очков» – это подмножество. С другой стороны, любое подмножество( в частности и, например,{выпало более 6 очков}) можно считать случайным событием, произошедшим в результате данного опыта. Таким образом, задав множество, мы описали данный опыт, построили его модель. Множествопринято называтьпространством элементарных событий.

Пример 7. Опыт заключается в том, что три раза подбрасывают монету и фиксируют сторону, на которую она упала: герб отмечают 1, а решку – 0. Результат любого опыта – это упорядоченная тройка, каждый элемент которой либо 0, либо 1. Перебирая все возможности построения таких троек, получим множество всех элементарных событий в этом опыте – конечное множество . Любое случайное событие можно отождествить с подмножеством множества. Например, событиеА={герб выпал на 1–м броске} это подмножество . И наоборот, любое подмножествоможно описать, как некоторое случайное событие, наступившее в этом опыте. Например,– «в результате опыта решка появилась точно два раза».

Пример 8. Опыт заключается в выстреле по неограниченной плоской мишени. Наблюдаемый результат (элементарное событие) точка на мишени (на плоскости), т.е. элементарное событие – , а пространство элементарных событий – это множество всех точек плоскости, на которой введена декартова система координат. Любое подмножество является случайным событием, и любое событие можно представить как некоторое подмножество. Например,можно рассматривать как «попадание в десяточку».

Анализируя эти примеры, видим, что для описания опыта нужно ввести в рассмотрение все его мыслимые простейшие исходы – множество всех элементарных событий. Тогда любое событие – это некоторое подмножество данного множества.

Определение 1.2. Пространством элементарных событий называется произвольное множество , а любой его элемент называетсяэлементарным событием.

Отметим, что для описания реального опыта пространство элементарных событий выбирают подходящим образом, причем, выбор зависит и от того, какие события нас интересуют в данной задаче.