1. Теория множеств и элементы математической логики

Тема 1.1. Представления о множествах Интуитивные представления (Элемент, принадлежность, равенство, интуитивный принцип объемности).

Понятие множества является базовым в математике, на его основе формируются другие понятия. В силу своей общности - это неопределяемое понятие.

Под множеством принято понимать любое собрание (совокупность) определенных и различимых между собой объектов, мыслимое как единое целое. Эти объекты называются элементами данного множества.

В приведенном выше описании понятия множества, которое принадлежит основателю теории множеств немецкому математику Г. Кантору, существенным является то, что собрание объектов (множество) само рассматривается как один предмет, как нечто целое. Относительно предметов, которые могут входить во множество, допускается значительная свобода. Важно, что наша интуиция должна, во-первых, отделять их один от другого даже тогда, когда их нельзя точно указать (например, множество простых чисел), во-вторых, давать ответ на вопрос о принадлежности объекта данному множеству. Последнее тесно связано со способами задания множеств.

Тот факт, что объект а является элементом множества А, другими словами а принадлежит множеству (содержится в множестве) А, символически обозначается а  А. В противном случае пишут а  А.

Г. Кантор сформулировал несколько интуитивных принципов, которые естественно считать выполняющимися для произвольных множеств. В частности интуитивный принцип объемности, который оговаривает условия равенства (тождественности) объектов нашей теории, а, следовательно, и их различия.

Интуитивный принцип объемности. Множества А и В считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Записывают А = В , если А и В равны, и А  В - в противном случае.

Пример. Пусть А - множество действительных корней уравнения х² - 7х + 6 = 0 , а множество В состоит из чисел 1 и 6. Числа 1, 6 и только они являются корнями уравнения, следовательно, в силу принципа объемности заключаем, что А = В.

Множество А, элементами которого являются объекты а₁, а₂, ... , а_n и только они, обозначают А = {а₁, а₂, ... , а_n}.

Упражнение. Приведите два примера равных множеств.

Подмножества (Включение, универсум, пустое множество, множество всех подмножеств р(а)).

Если каждый элемент множества А являются одновременно и элементом множества В, то А называют подмножеством множества В, и пишут А  В. В случае, когда А  В, но А  В, говорят , что А есть собственное подмножество В, и обозначают А  В.

Ясно, что : 1) А  А;

2) если А  В, В  С, то А  С;

3) если А  В, В  А, то А = В.

Нужно различать отношения принадлежности (  ) и включения (  ). Если А = {а₁, а₂, ,... , а_n}, то а₁  А, но а₁  А, т.к. а₁ не является множеством, а значит и подмножеством А. Однако, если ввести в рассмотрение множество А₁, состоящее из одного элемента а₁ , А₁ = {а₁}, то А₁  А или {а₁}  А.

Множество, не содержащее элементов, называется пустым множеством и обозначается .

Например, множество действительных корней уравнения х ² + 1 = 0 является пустым множеством. Этот простой пример иллюстрирует целесообразность введения понятия пустого множества.

Пустое множество есть подмножество любого множества. Если определить множество С = {}, то оно содержит элемент - пустое множество.

Сами множества могут становиться элементами других множеств. Если А = { а₁, а₂ }, В = { b₁, b₂ }, то D = { A, B } не содержит в качестве элементов а₁ или b₁ , т.е. а₁  D , но А  D.

Для множества {a, b} рассмотрим все его подмножества: {a}, {b}, {a, b} и . Тогда множество {, {a}, {b}, {a, b}} представляет из себя - “множество всех подмножеств“ исходного множества {a, b}. Аналогично, для любого множества А можно определить множество всех его подмножеств S(A).

Множество, элементами которого являются все возможные элементы всех возможных множества, принято называть универсальным множеством (универсумом) и обозначать U. Таким образом, всякое множество является подмножеством универсального множества U.

Упражнения. 1. Приведите 2 – 3 примера множеств и их некоторых подмножеств.

2. Определите сколько элементов содержит множество S(A), если множество А содержит 0, 1, 2, 3, … , n элементов.

Способы задания множеств ( Интуитивный принцип абстракции А = { x / P(x) }, примеры).

Множества могут задаваться различными способами. Можно просто перечислить все элементы множества, можно задать порождающую процедуру, т. е. указать правило, по которому из каких-то объектов строятся элементы множества, можно указать характеристическое свойство элементов данного множества, т. е. свойство, которым обладают элементы множества и только они и т. д. В связи с этим возникает проблема эффективного описания способов задания множеств. Ее решение обычно основано на интуитивном понятии “формы от х”. Под “формой от х” принято понимать конечную последовательность, состоящую из слов и символа х, такую, что если каждое вхождение символа х заменить одним и тем же именем некоторого предмета, то в результате получится истинное или ложное предложение. Например, формами от х будут предложения : “5 делит х”. “ х - родственник Иванова”. Напротив, предложения “для всех х х ² - 4 = (х - 2)(х + +2)” или “существует такое х, что х > 0” не являются формами от х.

Обозначим форму от х через Р(х), тогда можно сформулировать Интуитивный принцип абстракции. Любая форма Р(х) определяет некоторое множество А, а именно множество тех и только тех предметов а, для которых Р(а) - истинное предложение.

Запись А = { x| P(x) } означает, что множество А определяется формой Р(х).

Примеры. 1.{x| x - целое положительное число, меньшее 5} = {1,2,3,4}.

2. {x| x - буква русского алфавита, входящая в слово “мама”} = {а, м}.

3. {x| x = 2n, n - натуральное число } - множество четных натуральных чисел.

Упражнение. Приведите 2 – 3 собственных примера.