14. Дать определение вектора в пространстве. Определить линейные операции над векторами в геометрической и координатной формах.

Ответ: Скалярные величины- величины, которые в выбранной системе единиц вполне характеризуются заданием их численного значения(длина, площадь, масса, объём).

Векторные величины – величины, для определения которых задания лишь численных значений недостаточно (сила, скорость, ускорение, напряженность магнитн. поля).

Геометрич. вектором или просто вектором называется направленный отрезок прямой, т.е. отрезок, у которого одна из ограничивающих его точек принимается за начало, другая – за конец. Длиной или модулем АВ называется длина отрезка АВ и обознач.│АВ│ или │а│. Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым вектором. Нулевой вектор обозначается 0, его модуль равен нулю: │0│=0. Направлением вектора АВ называется направление, определенное полупрямой АВ. Нулевой вектор направления не имеет. Углом между двумя ненулевыми векторами а и в называется угол между направлениями этих векторов (а^в).

Линейные операции над векторами:

1). Сложение

Свойства сложения:

- Св-во коммутативности: а+в=в+а;

- Св-во ассоциативности: (а+в)+с=а+(в+с);

- Св-во существования вектора нейтрального относит. операции сложения: а+0=а.

2). Вычитание

Вектор с=а+(-в) назыв. разностью векторов а и в, и обознач. с=а-в.

Чтобы вычесть из вектора а вектор в, нужно к вектору а прибавить вектор –в, противоположн. вектору в.

3). Умножение вектора на число. Произведение вектора на число λ назыв.вектор, длина которого равна │λ│*│а│, а направление совпадает направлением вектора а, если λ>0,и противоположно ему , если λ<0. Свойства:

1. α(β*α)=(α*β)α;

2. (α+β)а=αа+βаж

3. α(а+в)=αа+αв.

15. Дать определение скалярного произведения векторов. Записать его свойства. Объяснить геометрический смысл скалярного произведения.

Ответ: Векторным произведением вектора а на неколлинеарный ему вектор в называется такой вектор с, который удовлетворяет след. условиям:

1. Вектор С перпендикулярен плоскости, образован.векторами а и в.

2. Векторы а, в и с образуют правую тройку векторов, т.е. если из конца вектора с кратчайший поворот от вектора а к вектору в виден против часовой стрелки);

3. Длина вектора с численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах а и в.

Векторное произведение обозначается: с=а х в.

│с│=│а│х│в│*sin α.

Свойства векторн.произведений:

1. Для любых векторов а и в пространстве справедливо равенство: а х в= -в х а

2. Для любых векторов а и в в пространстве и числа λ справедл.равенство: λа х в=а х λв.

3. Для любых 3 векторов а, в, с в пространстве справедливо равенство: (а+в)х с=ас + вс.

16. Дать определение скалярного произведения векторов. Вывести формулу скалярного произведения векторов в координатных формах.

Ответ: Скалярным произведением двух отличных от нуля векторов назыв. число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

а*в=│а│*│в│*cos φ, где φ – угол между а и в.

Свойства:

1. а*в=в*а

2. (λа)в=а(λв)=λ(ав)

3. а(в+с)=ав+вс.