1.Дать определение компл. Чисел и основных понятий. Что называется модулем и аргументом комплексного числа? Геометрическое изображение компл. Чисел.
Ответ: Действит.чисел не достаточно для решения многих практических задач. Простейшее квадратн.уравнение x2+1=0 во множестве действит.чисел решить нельзя. Для расширения понятия числа ввели обозначение √-1=i, и назвали "мнимой единицей", т.е. x2=-1.
Комплексным числом z назыв.число вида a+bi, где a и b – действит.числа, а i – мнимая единица. 2 комплексн.числа z1=a+bi и z2=c+di считаются равными, если равны их действит.части и коэффициенты при мнимых частях (a=c, b=d).
Числа z1=a+bi и z2=a-bi назыв. сопряженными.
Числа z1=a+bi и z2=-a-bi назыв. противоположными.
Т.к каждому комплексн.числу z=a+bi соответствует пара действит.числе a и b, а каждой паре действит.чисел на плоскости соответств. единственная точка, то комплексные числа можно изображать точками координатн.плоскости. На оси абсцисс (ОХ) откладывается действит.часть (a), поэтому эту ось назыв.действительной осью; на оси ординат (ОУ) откладывается коэффициент при мнимой части, поэтому эту ось назыв. мнимой.
Т.к. каждому комплексн.числу z=a+bi соотв. единственная точка с координатами (a;b), а каждой точке плоскости соотв. свой радиус вектор,то комплексн. числа можно изображать при помощи векторов
Длина радиусвектора соотв.комплексн. числу z=a+bi, назыв. модулем комплексн.числа и обознач. r, а угол, образован.радиус-вектором с положит.направлением ОХ, назыв. аргументом комплексн.числа и обознач. arg z:
│z│=r= √a2+b2.
z=a+bi
b/r=sin φ a/r=cos φ
2. Дать определение комплексных чисел. Записать алгебр., тригонометрич., показат., формы комплексных чисел. Как перейти из одной формы записи в другую?
Ответ: Комплексным числом z назыв.число вида a+bi, где a и b – действит.числа, а i – мнимая единица.
Операции над компл. числами в алгебр.форме.
Операции над комплексн.числами (z1=a+bi, z2=c+di);:
1). Сложение: z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+i(b+d). Для сложения необход. сложить их действит.части и коэффициенты при мнимых частях.
2). Вычитание: z1-z2=(a+bi)-(c-di)=(a-c)+i(b-d).
3). Умножение: z1*z2=(a+bi)*(c+di)=(ac)+adi+cbi+bdi2=ac+i(ad*cb)-bd . !(bdi2=-bdi).
4). Деление: z1/z2=a+bi/c+di=(a+bi)(c-di)/(c+di)(c-di)=ac-adi+bci-bdi2/c2-d2i2=ac+bd+(bc- ad)i/c2+d2=ac+bd/c2+d2 + (bc-ad)i/ c2+d2
Тригонометрическая форма комплексн.чиисла.
Из геометрической интерпретации комплексн.чисел можно записать, что a=r*cos φ, b=r*sin φ. Тогда комплексн.число z=a+bi можно записать в виде z=r*cos φ+ r*sin φi, или
z=r(cos φ+i*sin φ). Эта форма записи комплексн.числа назыв.тригонометрической.
Действия над компл.числами в тригоном.форме:
z1=r1(cosφ1+sin φ1); z2=r2(cosφ2+sin φ2);
1).Умножение z1*z2= r1(cosφ1+sin φ1)* r2(cosφ2+sin φ2)=r1*r2(cos(φ 1+φ 2)+isin(φ 1+φ 2));
2).Деление: z1/z2= r1(cosφ1+sin φ1) /r2(cosφ2+sin φ2)=(r1/r2)*cos(φ1- φ2)+i*sin(φ1- φ 2).
3)Возведение в степень: zn=rncos n φ +isin n φ (формула Муабра);
4).Извлечение корня: n√z=z1/n; => n√z= n√r * cos (φ+2πk/n) + i*sin (φ+2πk/n).
Действия над комплексн.числами в показат.форме:
Сложение и вычитание в показат.форме не выполняются!
1). Умножение: z1*z2=r1 ei φ1 * r2 ei φ2=r1r2*ei(φ1+ φ2);
2). Деление: z1/z2=r1 * ei φ1/r2 * ei φ2=(r1/r2) ei(φ1 – φ2);
3). Возведение в степень: zn=(r*ei φ )2= rn ei nφ ;
4). Извлечение корня: n√z=n√r * ei*(φ+2πk/n);
где k – 1,2,3,…,n-1.