11. Раскрыть метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Привести пример.

Ответ: При решении систем линейных уравнений методом Гаусса систему преобразовывают так, чтобы при первом неизвестном в первом уравнении коэффициент не был равен нулю. С этой целью иногда приходится менять местами уравнения и неизвестные. (выбирается ведущее уравнение и ведущая переменная). Далее, добавляя или вычитая из остальных уравнений первое уравнение, умноженное на некоторое число, исключаем из всех уравнений, начиная со второго, первую переменную. Затем так же процесс последовательного исключения переменных повторяем для второго, третьего, и т.д. уравнений, пока система не примет треугольный вид. Тогда из последнего уравнения находим значение переменной, подставляя это значение в предпоследнее уравнение, находим значение следующей переменной, и т.д., пока не будут найдены значения всех переменных.

12. Раскрыть метод решения систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы. Привести пример.

Ответ: Каждой квадратной матрице, определитель которой не равен нулю, можно поставить в соответствие обратную матрицу.

Матрицей, обратной данной матрице А, называется такая матрица, которая, будучи умноженной на матрицу А, даст единичную матрицу. Обратная матрица обозначается А^-1.

Тогда А ∙ А^-1=А^-1 ∙А=Е.

Обратная матрица вычисляется следующ. образом:

А_1.1 А_1.2 А_1.n

∆ ∆ ∆

A^-1= А_2.1 А_2.2 А_2.n

∆ ∆ ∆

А_.m1 А_.m2 А_m.n

∆ ∆ ∆

13. Определить декартовую систему координат в пространстве. Определить координаты точки в декартовой системе координат.

Ответ: Определим понятие базиса на прямой, плоскости и в пространстве.

Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор на этой прямой. Любой другой вектор, коллинеарный данной прямой, может быть выражен через векторв виде.

Базисом на плоскости называются любых два линейно независимых вектора иэтой плоскости, взятые в определенном порядке. Любой третий вектор, компланарный плоскости, на которой выбран базисможет быть представлен в виде.

Базисом в трехмерном пространстве называются любые три некомпланарных вектора , взятые в определенном порядке.

Такой базис обозначается. Пусть‑ произвольный вектор трехмерного пространства, в котором выбран базис. Тогда существуют числатакие, что.

(4)

Коэффициенты называются координатами векторав базисе, а формула (4) есть разложение векторапо данному базису.

Координаты вектора в заданном базисе определяются однозначно. Введение координат для векторов позволяет сводить различные соотношения между векторами к числовым соотношениям между их координатами. Координаты линейной комбинации векторов равны таким же линейным комбинациям соответствующих координат этих векторов.

Декартова прямоугольная система координат в пространстве определяется заданием единицы масштаба для измерения длин и трех пересекающихся в точке взаимно перпендикулярных осей, первая из которых называется осью абсцисс , вторая – осью ординат, третья – осью аппликат; точка‑ начало координат. Положение координатных осей можно задать с помощью единичных векторов, направленных соответственно по осям. Векторыназываются основными или базисными ортами и определяют базисв трехмерном пространстве.