55. Дифференцирование сложной функции многих переменных, дифференцирование неявной функции многих переменных.

Теорема. Пусть u = f (х, у) задана в области D и пусть х = х(t ) и у = у(t ) определены в области , причём, когда , то х и у принадлежат области D . Пусть функция u дифференцируема в точке M0 (x0, y0, z0), а функции х(t ) и у(t ) дифференцируемы в соответствующей точке t0, то сложная функция u = f [x(t), y(t)]=F (t) дифференцируема в точке t0 и имеет место равенство:

Дифференцирование неявных функций Теорема существования и дифференцируемости функции, заданной неявно Теорема 1. Пусть функция F(x,y) удовлетворяет условиям F(x0,y0) = 0 ; частные производные F'x и F'y непрерывны в некоторой окрестности точки (x0,y0) ; F'y(x0,y0) ≠ 0 . Тогда уравнение F(x,y) = 0 определяет неявно в некоторой окрестности точки x0 единственную непрерывную функцию y(x) , удовлетворяющую условию y(x0) = y0 . функция y(x) имеет производную, непрерывную в окрестности точки x0 . Выясним смысл условий теоремы. Существование непрерывной неявной функции y = f(x) в окрестности точки (x0, y0) следует из теоремы существования, так как: условие 1 гарантирует существование точки, координаты которой удовлетворяют уравнению F(x,y) = 0 ; из условия 2 следует непрерывность функции F(x,y) в окрестности точки (x0,y0) , а из условия 3 — ее монотонность по y при каждом фиксированном x из этой окрестности. Следовательно, условия 1–3 обеспечивают выполнение условий существования неявной функции y(x) , удовлетворяющей условию y(x0) = y0 и непрерывной в окрестности точки x0 .

Теорема. Пусть u  = f (х, у) задана в области D и пусть х = х(t ) и у = у(t ) определены в области , причём, когда , то х и у принадлежат области D . Пусть функция u дифференцируема в  точке M₀ (x₀, y₀, z₀),  а функции х(t ) и у(t ) дифференцируемы в соответствующей точке t₀, то  сложная функция u = f [x(t), y(t)]=F (t) дифференцируема в точке t₀ и имеет место равенство:

.

Доказательство. Так как u дифференцируема по условию в точке (x₀, y₀), то её полное приращение представляется в виде

.

Разделив это соотношение на , получим:

.

Перейдём к пределу при  и получим формулу

    .

Замечание 1. Если u = u(x, y) и x = x, y = y(x), то полная производная функции u по переменной х

 или .

Последнее равенство можно использовать для доказательства правила дифференцирования функции одной переменной, заданной неявно в видеF(x, y) = 0, где y = y(x) (см. тему № 3  и пример 14).

Имеем: . Отсюда .                  (6.1)

Вернёмся к примеру 14 темы № 3:

;

;

;

.

Как видим, ответы совпали.

Замечание 2. Пусть u  = f (х, у), где х = х(t , v), у = у(t , v). Тогда u есть в конечном счёте сложная функция двух  переменных t и v . Если теперь функция u дифференцируема в точке M₀ (x₀, y₀), а функции х и у  дифференцируемы   в соответствующей точке (t₀, v₀), то можно говорить о частных производных по t и v от сложной функции в точке (t₀, v₀). Но если мы говорим о частной производной по t в указанной точке,  то вторая переменная v считается постоянной и равной v₀. Следовательно, речь идёт о производной только от сложной функции по t и, следовательно, мы можем воспользоваться выведенной формулой. Таким образом,   получим:

 и .