40. Сформулировать правило нахождения производной сложной функции. Записать таблицу производных сложной функции. Сформулировать правило нахождения производной взаимообратных функций

Пусть и , тогда сложная функция с промежуточным аргументом и независимым аргументом .

Теорема: Если функция имеет производную в точке, а функция имеет производную в точке , то сложная функция имеет производную в точке , которая находится по формуле:

41. Сформулировать правило дифференцирования функций заданных неявно. Привести пример. Сформулировать правило дифференцирование функций заданных параметрически. Привести пример. Сформулировать правило нахождения производной при помощи логарифмического дифференцирования. Привести пример.

Дифференцирования функций заданных неявно

Если функция задана уравнением разрешённом относительно , то функция задана в явном виде.

Под неявным заданием функции понимают задание в виде уравнения

Если неявная функция задана уравнением , то для нахождения производной не обязательно выражать через , достаточно продифференцировать это уравнение по , рассматриваем при этом как . Полученное затем уравнение разрешить относительно .

Пример:

Дифференцирования функций заданных параметрически

Пусть функция задана в параметрическом виде

Пример:

Нахождения производной при помощи логарифмического дифференцирования

Для нахождения производно от степенной-показательной , а также других громоздких выражений допускается логарифмирование. Удобно применять логарифмическую производную.

Логарифмической производной от функции называется производная от логарифма этой функции.

Пример:

42. Дать определение производной высших порядков. Записать правила нахождения производной второго порядка функции заданной параметричнски, функции заданной неявно. Записать формулу Лейбница.

43. Дать определение дифференциала функции. Раскрыть его геометрический смысл. Записать таблицу основных дифференциалов, формулы нахождения дифференциала суммы, произведения, частного

двух функций. Записать формулу применения дифференциала в приближенных вычислениях.

Функция называется дифф. В точке Х0 с координатами(х0: у0) , если приращение ф-ции можно представить в виде f(x)-f(x0 )=A(x- x0)+o(x- x0)

Дифференциалом ф-ции наз. величина, пропорциональная б.м. приращению аргумента х и отличающаяся от соответствующего приращения ф-ции на б.м.в. более высокого порядка малости, чем х.

Если y=x, то dy=dx=x`x=x, dx=x

Если yx, то dy=y`dx, y`=dy,dx

Геометрический смысл: дифференциал - изменение ординаты касательной, проведенной к графику ф-ции в точке (x₀,f(x₀)) при изменении x₀ на величину x

Дифференциал функции y=f(x) в точке x₀ равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику этой функции в точке (x₀; f(x₀)), соответствующему приращению ее абсциссы x₀ на ∆x.

Дифференциал может быть как меньше приращения функции, так и больше. Однако при достаточно малых приращениях ∆x можно принять ∆f(x₀)≈df(x₀

Св-ва: 1. (UV)`=U`V`, то (UV)`dx=U`dxV`dx, d(UV)=d(UV)

2. (UV)`=U`V+V`U, то (UV)`dx=V`dU+U`dV

3.d(c)=c`dx=0*dx=0

4. d(U/V)`=(V`dU-U`dV)/V².

Дифференциалом функции y=f(x) в точке x₀ называется линейная относительно ∆x величина f’(x₀) ∆x, составляющая главную часть приращения функции f(x) в точке x₀. Дифференциал функции обозначается df(x₀) или dy. Т.о. df(x₀)=f’(x₀) ∆x.