- •1.Дать определение компл. Чисел и основных понятий. Что называется модулем и аргументом комплексного числа? Геометрическое изображение компл. Чисел.
- •2. Дать определение комплексных чисел. Записать алгебр., тригонометрич., показат., формы комплексных чисел. Как перейти из одной формы записи в другую?
- •3. Вывести формулы сложения, вычитания, умножения, деления комплексных чисел в алгебраич. Форме.
- •4. . Вывести формулы сложения, вычитания, умножения, деления комплексных чисел в тригонометрич. Форме.
- •5. Записать формулу Муавра, формулу извлечения корня из комплексных чисел. Привести примеры.
- •6. Ввести понятие матрицы. Дать основные определения.
- •7. Дать определение линейных операций над матрицами. Произведение матриц. Приведение матриц к ступенчатому виду.
- •8. Дать определение определителей 2-го, 3-го, n-го порядка. Вычисление определителей. Свойства определителей.
- •9. Дать определение матрицы, обратной к данной. Построить матрицу, обратной к данной.
- •10. Раскрыть метод Крамера решения системы линейных уравнений. Привести пример.
- •11. Раскрыть метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Привести пример.
- •12. Раскрыть метод решения систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы. Привести пример.
- •13. Определить декартовую систему координат в пространстве. Определить координаты точки в декартовой системе координат.
- •14. Дать определение вектора в пространстве. Определить линейные операции над векторами в геометрической и координатной формах.
- •15. Дать определение скалярного произведения векторов. Записать его свойства. Объяснить геометрический смысл скалярного произведения.
- •16. Дать определение скалярного произведения векторов. Вывести формулу скалярного произведения векторов в координатных формах.
- •17. Дать определение векторного произведения векторов. Записать его свойства. Объяснить геометрич. Смысл.
- •18. Дать определение векторного произведения векторов. Вывести формулу векторного произведения векторов в пространстве.
- •19. Дать определение смешанного произведения векторов. Записать свойства. Вывести формулу спв в координатной форме. Объяснить геометрический смысл спв.
- •21. Вывести параметрическое уравнение прямой на плоскости;
- •22. Вывести формулу для нахождения угла между прямыми на плоскости. Перечислить условие параллельности и перпендикулярности двух прямых. Записать формулу расстояния от точки до прямой.
- •23. Дать определение элипса. Записать каноническое уравнение элипса, основные хар-ки. Изобразить на рисунке.
- •24. Дать определение гиперболы. Записать каноническое уравнение гиперболы, основные хар-ки. Изобразить на рисунке.
- •25. Дать определение параболы. Записать каноническое уравнение параболы, основные характеристики. Изобразить на рисунке.
- •26. Вывести уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору. Вывести общее уравнение плоскости.
- •28. Вывести формулу для определения угла между плоскостями. Записать формулу расстояния от точки до плоскости. Описать варианты взаимного расположения двух плоскостей.
- •29. Вывести уравнение прямой пространства, проходящей через заданную точку параллельно заданному вектору (канонические и параметрические уравнения).
- •30. Определить уравнение прямой, как линии пересечения двух плоскостей. Вывести уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
- •31. Дать определение предела функции в точке и на бесконечности. Определить односторонние пределы. Сформулировать свойства пределов функций. Записать замечательные пределы.
- •32. Показать различные способы вычисления пределов функции в точке и на бесконечности.
- •33. Дать определение функции непрерывной в точке и на промежутке. Перечислить свойства функций непрерывных в точке. Дать определение точек разрыва функции. Классифицировать точки разрыва.
- •34. Дать определение производной функции в точке. Сформулировать её геометрический и физический смысл.
- •35. Сформулировать правила дифференцирования. Вывести формулу производной суммы (разности).
- •36. Сформулировать правила дифференцирования. Вывести формулу производной произведения.
- •37. Сформулировать правила дифференцирования. Вывести формулу производной частного.
- •39. Записать таблицу производных элементарных функций. Вывести производные функций:
- •40. Сформулировать правило нахождения производной сложной функции. Записать таблицу производных сложной функции. Сформулировать правило нахождения производной взаимообратных функций
- •42. Дать определение производной высших порядков. Записать правила нахождения производной второго порядка функции заданной параметричнски, функции заданной неявно. Записать формулу Лейбница.
- •43. Дать определение дифференциала функции. Раскрыть его геометрический смысл. Записать таблицу основных дифференциалов, формулы нахождения дифференциала суммы, произведения, частного
- •44. Сформулировать правила Лопиталя, раскрытия неопределённостей Привести пример
- •45. Сформулировать правила Лопиталя, раскрытия неопределённостей вида Привести пример.
- •47.Дать определение экстремума функции. Сформулировать необходимое и достаточное условия экстремума функции.
- •48. Дать определение возрастающих и убывающих функций. Сформулировать условия монотонности.
- •49. Дать определения выпуклости и вогнутости функции, точек перегиба. Сформулировать достаточное условие выпуклости и вогнутости функций. Сформулировать достаточное условие перегиба функции.
- •50. Дать определение асимптоты графика функции. Перечислить виды асимптот. Записать формулы для их нахождения.
- •51. Составить общую схему исследования функции и построения её графика.
- •52. Вывести понятие функции многих переменных, области определения.
- •53. Дать определение предела функции многих переменных в точке. Непрерывность функции многих переменных.
- •55. Дифференцирование сложной функции многих переменных, дифференцирование неявной функции многих переменных.
- •56. Дать определение частных производных высшего порядка.
8. Дать определение определителей 2-го, 3-го, n-го порядка. Вычисление определителей. Свойства определителей.
Ответ: Определителем называется число, заданное в виде квадратной таблицы чисел. Он обознач. ∆ или det А. В общем вид определитель записывается след.образом:
│а1.1 а1.2 а1.3 … а1.n│
│а2.1 а2.2 а2.3 … а2.n│
∆ = │… … … … │
│ аn.1 аn.2 аn.3 . ..а.n.n│
Каждому элементу определителя ai.j соответствуют два числа: i – это номер строки, в которой стоит элемент, j – номер столбца.
Элементы а1.1 а1.2 а1.3 … а1.n образуют первую строку определителя.
Элементы а1.1 а2.1 а3.1 … аn.1 образуют первый столбец определителя.
Элементы а1.1 а2.2 а3.3 … аn..n образуют главную диагональ определителя.
Элементы аn.1 аn-1.2 аn-2.3 … а1.n образуют второстепенную диагональ определителя.
Порядком определителя назыв. кол-во строк или столбцов в определителе.
Определитель второго порядка в общем виде выглядит так:
│а1.1 а1.2 │
∆ =│а2.1 а2.2 │
и вычисляется как разность произведений элементов по главной и побочной диагонали.
Определитель 3-его порядка в общем виде:
│а1.1 а1.2 а1.3│
∆ = │а2.1 а2.2 а2.3│
│а3.1 а3.2 а3.3│.
Свойства определителя:
1). Значение определителя не изменится, если все его строки заменить столбцами, и наоборот.
2). Если 2 стоки (столбца) определителя поменять местами, то знак определителя изменится на противоположный.
3). Если определитель содержит строку (столбец), все элементы которого равны нулю, то и определитель будет равен нулю.
4). Если в определителе имеется 2 строки (2 столбца), элементы которых пропорциональны, то определитель равен нулю.
5). Если все элементы какой-либо одной строки умножить на одно и то же число k≠0, то значение определителя изменится в k-раз.
6). Если ко всем элементам какой-либо строки (столбца) прибавить соответсв. элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и тоже число, то значение определителя не изменится.
Вычисление определителей основывается на их известных свойствах, которые относятся к определителям всех порядков. Вот эти свойства:
1. Если переставить две строки (или два столбца) определителя, то определитель изменит знак.2. Если соответствующие элементы двух столбцов (или двух строк) определителя равны или пропорциональны, то определитель равен нулю.3. Значение определителя не изменится, если поменять местами строки и столбцы, сохранив их порядок.4. Если все элементы какой-либо строки (или столбца) имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.
9. Дать определение матрицы, обратной к данной. Построить матрицу, обратной к данной.
Ответ:
10. Раскрыть метод Крамера решения системы линейных уравнений. Привести пример.
Ответ: Для решения системы n-линейных уравнений с n-неизвестными методом Крамера вычисляется главный определитель ∆, составленный из коэффициентов при неизвестных, и определителей ∆х1, ∆х2, …, ∆хn, которые получаются из главного определителя путем замены столбца коэффициентов, стоящих при соответств. неизвестной на столбец свободных членов.
Тогда решение системы находится по следующ. формулам:
∆х_ ∆х2 ∆хn
х1 = ∆ х2 = ∆ хn = ∆.