Термодинамика

СП −Сp pdv +vdp = 0 .

СП −СV

Тоді npdV+Vdp = 0. розділимо обидві частини рівняння на рV, отримаємо n dVV + dpp = 0 , або nℓnV + ℓnP = const, також

ℓnVn + ℓnP = const,

ℓn (PVn) = const або PVn = const (89)

Аналіз рівняння політропи. Чисто формально можна показати загальну сутність рівняння. Якщо

n = 0, то Р = const

n = К, то PVК = const, ∆q = 0, n = 1, то PV= const, Т = const

n = ∞: PVn = const, n pV n = nconst , р1/nV= const

α

Раніше (86) для процесу V= const мали α = 1,

n = СП −Сp =∞ (тут Сп= Сv);

СV −СV

для процесу р = const (6)

для процесу Т = const (86) α = 0, n = CV =1 ;

CV

для процесу ∆q=0, або dq=0 = CndT, але dT≠0, а Cп = 0 ,

тоді n = =Ср/Сv = К.

Характерними випадками політропних процесів є:

1.0 < n < 1. Це процеси, розташовані між ізотермою та ізобарою, тут Сn > 0, процеси розширення тривають з підведенням тепла та збільшенням внутрішньої енергії.

2.n = 1, із (91) Сn = ∞ (ізотерма), Т = const. Все підведене тепло перетворюється в роботу.

3.1 < n < К. Тоді (91) Сn < 0. Ця область розташована між ізобарою та адіабатою. Незважаючи на підведення тепла до тіла (при розширенні) температура тіла падає, тобто при нагріванні робочого тіла тепло від нього відводиться, тому що газ здійснює механічну роботу не тільки за рахунок підведеного тепла, але і за рахунок внутрішньої енергії.

4.n = k, Сn = 0, ∆q = 0. Це адіабатний процес.

5.∞ > n > k, Сn > 0. Ця область розташована між адіабатою та ізохорою. При розширенні тепло відводиться від тіла, робота здійснюється, внутрішня енергія зменшується.

Втаблиці 1.1 вказані теплоємності процесів при різних значеннях величини n.

Таблиця 1.1. Теплоємність термодинамічних процесів в залежності від показника політропи

1.10. Кругові процеси

Ми з’ясували, що процеси V = const, р = const, Т = const, ∆q = 0 є частковими випадками політропного процесу. При розробці (проектуванні) теплосилових установок важливим є правильний вибір політропи, область її дії (неможливо уявити нескінченне розширення робочого тіла).

По мірі розширення енергія тіла (здатність здійснювати роботу) знижується, при цьому можна отримати все менший приріст механічної роботи (на "р – V" – діаграмі площа під лінією процесу є мірою роботи). Для забезпечення тривалої роботи машини необхідно, щоб після здійснення робочим тілом роботи воно періодично, тобто циклічно, поверталося у вихідний стан, щоб знову розпочати роботу.

Здійснення такого процесу можливо різним шляхом (рис. 5). Якщо цей контур буде здійсненним по процесу 1-а-2 при розширенні та 2-а-1 при стисканні, то вся корисна додатня робота, яка отримана при розширенні, цілком буде витрачена на стискання. При цьому не буде ніякого корисного ефекту, коефіцієнт корисної

дії (к.к.д.) такого теплового пристрою буде дорівнювати нулю.

Можна повернути робоче тіло у вихідний стан по напряму 2-в-1, але це ще гірше, тому що робота, витрачена на стискання, буде ще більшою (площ. 32в14), ніж робота

розширення і стискання (прямого та оборотного процесів) виникає питання: якими властивостями повинні відрізнятися ці політропи, щоб забезпечити максимальний к.к.д.? Слід відмітити, що як прямий (розширення), так і оборотний (стискання) процеси, можуть складатись із низки процесів кожен, тобто із сукупності політроп. Які ж це мають бути політропи? Це завдання розв’язав Саді Карно, цикл має назву „Цикл Карно”, який розглядається нижче.

Карно розташував свій двигун між двома джерелами тепла. Один (U) – з високою температурою Т1,другий з низькоюТ 2(холодильник Х). Умовно властивість таких джерел та, що вони нескінчені по тепловим розмірам. Це дозволяє вважати, що скільки б тепла було взято від джерела U і скільки б надійшло в холодильник Х, температури їх залишаться незмінними.

Отримавши тепло q1 від джерела U, робоче тіло (1кг) розширюється при Т1 = const по процесу 1-2 (рис. 6). При цьому в ізотермічному режимі все тепло q1 перетворюється в роботу ℓ при η = 1. Далі двигун вимикається від джерела U і спонукає робоче тіло розширитись адіабатно за рахунок внутрішньої енергії (∆q = 0) в процесі 2-3, який розташовується більш круто, ніж ізотерма 1-2. За рахунок внутрішньої енергії здійснюється корисна робота. В т.З

колінчастий вал двигуна пройде через „мертву точку” і поршень переміститься вліво, підключається холодильник Х, ізотермічне стискання відбувається при температурі Т2 = const по лінії 3-4. В цей період частина підведеного тепла q2 відводиться в холодильник. Площа корисної роботи повинна

Рис.6. Прямий цикл Карно бути обмеженою замкненим контуром, і в т.4 вимикається

холодильник і адіабатним стисканням замикає контур (крива 4-1). Завжди можна підібрати на ізотермі 3-4 точку 4 так, щоб замкнути цикл в т. 1. Корисна робота відповідає площі цикла

1234 (різниця площ 51236 і 54436).

Витрата теплової енергії складає q1 - q2,

В результаті Р3 / Р2 = Р4 / Р1, Р2Р4 = Р3 Р1, Р4 / Р3 = Р1 / Р2 і тоді формула (93) приймає вигляд к.к.д. циклу Карно

К.к.д. не дорівнює 1 (100%), тому що для цього необхідно

Т2 / Т1 = 0.

Але Т2 ≠ 0 (абсолютний нуль недосягнений), Т1 ≠ ∞ (джерело тепла має кінцеву температуру). Тому Т2 / Т1 ≠ 0 , ηt

< 1.

Цикл Карно є ідеальним, тому що складений із ідеальних оборотних процесів ізотерми та адіабати, він є еталоном. В прямому циклі додатня робота розширення більша, ніж від’ємна робота стискання на величину корисної роботи, яка віддається на сторону і використовується в двигунах машин.

Оборотний цикл має протилежне направлення. Тепло відбирається від холодильника Х і відводиться до джерела U.

Це є холодильна машина. Ефективність роботи її визначає холодильний коефіцієнт

1.11. Другий закон (принцип) термодинаміки

І закон термодинаміки не дає відповіді про направлення процесу, а тільки простежує за кількісними балансами збереження і перетворення енергії. Якісну оцінку процесів дає ІІ закон термодинаміки, згідно з яким:

1.Теплота не може сама собою (без витрат роботи) перейти від тіл з низькою температурою (холодильник) до тіл з високою температурою (джерело). В дійсності, перенесення тепла самодовільно здійснюється лише від гарячого тіла до холодного (Клаузіус).

2.Неможливий perpetuum mobile ІІ роду, тобто машина, яка

не продукує нічого іншого, крім роботи охолодження джерела тепла (Оствальд, Планк).

3.Енергія ізольованої системи поступово деградує

(Томпсон).

4.Природа намагається перейти від стану малоймовірного до стану більш ймовірного (Больцман).

Для перетворення теплоти в механічну роботу необхідно 2 джерела: гарячий і холодний. Робота не буде отримана шляхом лише одного охолодження джерела тепла, необхідно нагрівати холодильник.

Робота дорівнює q1 (гар) – q2 (хол).

Система (робоче тіло) намагається до більш вірогідного стійкого стану, рівноваги (наприклад, до однакового тиску і температури на весь об’єм). Не можна продукти згорання повернути до вихідного стану. Суміш газів сама по собі не розділиться на окремі гази.

Камінь, що упав з висоти, не підніметься знову на висоту за рахунок тепла від удару.

Якщо підведене тепло є додатнім, а відведене від’ємним, то алгебраїчна сума

Відношення q/Т – це як би „напруженість” тепла, якісна характеристика процесів перетворення тепла, міра необоротності процесів, яка має назву ентропії S (за

Далі витікає dq = TdS. При Т = 1ºК після інтегрування

отримаємо q = q1 – q2 = = S2 – S1.

Таким чином, якщо температура системи 1ºК, то зміна ентропії кількісно дорівнює теплу, що поглинає тіло. Аналогічно, потенціальна енергія тіла масою G на висоті дорівнює ℓ = G∆Н (де ∆Н = Н2 – Н1, тобто приріст висоти). Також механічна робота розширення газу ℓ = р∆V (∆V = V 2 – V 1 – приріст об’єму).

Теплоту можна уявити як добуток Т∆ S, де Т – фактор інтенсивності, ∆ S – фактор екстенсивності. У формулі (97)

обрахувати можна лише зміну (приріст) ентропії.

Перебіг реальних процесів здійснюється необоротно, для них S2–S1>0, а S2> S1, тобто ентропія таких процесів зростає. Це зростання для ізольованих систем з необоротними процесами триває до тих пір, доки тіло (система) не прийде до

рівноваги. Статистична механіка стверджує (Больцман), що зростання ентропії пропорційно логарифму вірогідності стану системи.

Для ізольованої системи за умов перебігу оборотних процесів ентропія залишається незмінною. Зростання ентропії системи характеризує зменшення її здатності до

здійснення роботи.

Приклад. Маса киплячої води дорівнює G = 1кг при t1 = 100ºC.

∆S = ∆Тq ,q1 =G1ct1 = 418.68кДж

∆Sпос = S2 – S1 = 418,68/(273+100)=1,125 кДж/K/

У бачку з водою маса її складає G2 = 100кг, t2 = 1ºC.

q2 = G2Ct2 = 418,68кДж, тобто посудина та бачок містять однакову кількість тепла, але його цінність різна внаслідок різної напруженості, інтенсивності, тобто значення ентропії.

∆ Sб > ∆ Sпос, а це означає, що здатність до роботи акумульованого в бачку тепла менша, ніж в посудині.

Ентропія є функцією стану робочого тіла поряд із тиском, питомим об’ємо і температурою, вона залежить від них. Чим менша зміна ентропії в процесі, тим більш якісно він протікає.

Якщо обидві частини рівняння І закону термодинаміки поділити на Т, то отримаємо:

Це рівняння визначає зв’язок S = f(T, U).

(101)

Рівняння (98), (100), (101) встановлюють зв’язок ентропії з параметрами стану р,V,Т, а це означає, що ентропія S також є параметром стану робочого тіла. Крім того, ентропія є інтегруючим множником для рівняння І начала термодинаміки.

Суть ІІ закону ілюструється приладом Бернарді (рис. 7). Якщо окунути кульку в теплу воду, яка залита в бак А, то сірчаний ефір, який міститься в кульці, випаровується, а пара перейде по трубці С у верхню кульку d. Там, від зіткнення з холодними стінками і повітрям пара ефіру конденсується і під впливом маси рідини поверне всю систему навколо осі а, доки не зануриться у воду наступна кулька е з ефіром, і т.д. Джерелом високої температури є бак з теплою водою,

джерело низької температури – повітря, а робоче тіло – сірчаний ефір. В прямому процесі до ефіру підводиться тепло води – Q1 (випаровування), а в оборотному– тепло конденсації Q2 віддається робочим тілом холодильнику (повітрю). Корисним є тепло, що відповідає різниці

(Q1–Q2) і обертає систему.