- •Міністерство освіти і науки україни
- •Частина I Елементи функціонального аналізу Розділ 1. Метричні простори § 1. Поняття метричного простору
- •§ 2. Нормований метричний простір
- •§ 3. Скалярний добуток
- •§ 4. Приклади метричних просторів
- •Розділ 2. Збіжність в метричних просторах § 1. Границя послідовності
- •Нехай маємо послідовність
- •§ 2. Збіжність в просторах Rn, l2, c[a;b]
- •Розділ 3. Відкриті і замкнені множини § 1. Деякі поняття теорії метричних просторів
- •§ 2. Замикання і його властивості
- •§ 3. Замкнені множини і їх властивості
- •§ 4. Відкриті множини і їх влативості
- •Розділ 4. Неперервні відображення § 1. Поняття функції
- •§ 2. Границя і неперервність функції
- •§ 3. Зв’язні множини. Збереження зв’язності при неперервних відображеннях
- •Розділ 5. Компактні множини § 1. Компакти і їх властивості
- •§ 3. Критерій компактності
- •§ 4. Властивості функцій неперервних на компакті
- •Розділ 6. Повні метричні простори § 1. Приклади повних метричних просторів
- •§ 2. Властивості повних метричних просторів
- •§ 3. Теорема Банаха
- •Частина II Диференціальне числення функцій багатьох змінних Розділ 1. Поняття дійсної функції багатьох змінних
- •Розділ 2. Диференційовність функцій багатьох змінних § 1. Поняття диференційовної функції. Часткові похідні. Необхідні умови диференційовності
- •§ 2. Достатні умови диференційовності функції багатьох змінних
- •§ 3. Диференційовність складної функції.
- •§ 4. Інваріантність форми диференціала функції багатьох змінних.
- •§ 5. Похідна за напрямком. Градієнт.
- •Розділ 3. Частинні похідні і диференціали вищих порядків § 1. Частинні похідні вищих порядків
- •§ 2. Достатні умови незалежності змішаних частинних похідних від порядку диференціювання.
- •§ 3. Диференціали вищих порядків
- •§ 4. Формула Тейлора для функцій багатьох змінних
- •Розділ 4. Неявні функції § 1. Існування неявної функції однієї змінної
- •§ 2. Існування неявної функції багатьох змінних
- •§ 3. Існування неявної функції, яка задається системою рівнянь
- •Розділ 5. Екстремуми функцій § 1. Поняття екстремума функцій багатьох змінних
- •§ 2. Деякі відомості з теорії квадратичних форм
- •§ 3. Достатні умови існування екстремуму
- •§ 4. Умовний екстремум
- •Частина III. Розробка електронного посібника “Елементи функціонального аналізу та диференціальне числення функцій багатьох змінних”
- •Програмне середовище підручника
- •Як працювати з підручником?
- •Висновки
- •Часть II.– м.: ”Наука”, 1993. – 448с.
§ 3. Критерій компактності
Нехай маємо множину Е метричного простору Х і {} – система відкритих множин цього простору.
Означення 3.1. Говорять, що система {} відкритих множин, покриває множину Е, якщо кожна точка х є Е, належить хоча б одній з множин , цієї системи.
Теорема 3.1. (Гейне-Бареля). Нехай К – компакт, який належить метричному простору Х. Тоді з будь-якого відкритого покриття компакта К можна виділити скінченне підпокриття.
Доведення. Нехай К – компакт, – довільне відкрите покриття К. Спочатку доведемо, що існує 0>0 таке, що при будь-якому х є К, куля S(x, 0) входить цілком в деяку множину .
Припустимо, що це не так. Тоді знайдеться послідовність чисел п0, п>0 і точок хп є М, таких, що кулі S(xn, п) не ввійдуть ні в одну з множин . З послідовності {xn}, можна виділити підпослідовність , яка збігається до точки х0 є К (внаслідок того, що К компакт). Так, як система покриває К, то знайдеться множина з цієї системи така, що . Внаслідок того, що є відкритою множиною, то цілком містить деяку кулю. Виберемо пк настільки великим, щоб і , з нерівності , справедливої для будь-якого х із кулі , робимо висновок, що , хоча за побудовою не може входити ні в одне . Це протиріччя доводить справедливість твердження.
Нехай 0>0 вибране так, що виконується вище доведене твердження. Покажемо, що існує скінченна кількість точок ,, що.
Припустимо, що це не так. Візьмемо довільне х1К. Тоді існує х2К таке, що (х1;x2)0 (в іншому випадку компакт містився б у кулі S(x1;0)). Аналогічно існує х3К, таке, що (х1;x3)0, (х2;x3)0 і т.д. Одержимо послідовність {xn}, таку, що (хi;xj)0, при ij. Очевидно, що жодна підпослідовність цієї послідовності не є фундаментальною, а значить і збіжною. Прийшли до протиріччя.
Таким чином існує скінченна кількість точок х1, х2,..., хр, хіК, що . Так, як цілком входить в деяку множину , то. Теорему доведено.
Теорема 3.2. Нехай К – непорожня множина метричного простору Х. Якщо із будь-якої системи {}, відкритих множин, яка покриває К, можна виділити скінченне підпокриття, то К – компакт.
Доведення. Припустимо, що К не є компактом. Тоді існує послідовність {хп} така, що з неї не можна виділити підпослідовніть, яка збігається до точки множини К. Тоді кожна точка х множини К має окіл S(x;) ( - залежить від х) в якому міститься не більше, як скінченна кількість елементів послідовності. (Якби в довільному околі якоїсь точки х* є К, міститься нескінченна множина точок послідовності, то існувала б підпослідовність послідовності {хп}, яка б збігалася до до х*). Множина куль S(x;) покриває множину К. Внаслідок умови теореми, існує скінченна кількість куль S(уі, і), (і=1,2,...,р), які покривають К. Так, як всі елементи послідовності {хп} містяться в , а в кожній S(уі, і) міститься скінченна кількість елементів послідовності, то {хп} має скінченну кількість елементів, що суперечить означенню послідовності. Теорему доведено.
З теорем 3.1 і 3.1, слідує критерій того, що К є ком пактом.
Теорема 3.3. Для того, щоб множина К метричного простору Х була компактом, необхідно і достатньо, щоб з кожного відкритого покриття К можна було виділити скінченне підпокриття.