§ 3. Зв’язні множини. Збереження зв’язності при неперервних відображеннях

Означення 3.1. Множина М метричного простору Х, називається зв’язною, якщо при будь-якому розбиті її на дві непорожні множини, хоча б одна з них містить хоча б одну точку дотику другої.

Теорема 3.1. Образ зв’язної множини при неперервному відображенні є зв’язною множиною.

Доведення. Нехай , f неперервна функція, М зв’язна множина. Покажемо, що є зв’язною множиною. Розіб’ємо множину В на дві непорожні множини В₁ і В₂. . Через А₁ позначимо прообраз множини В₁, а через А₂ – прообраз множини В₂. Очевидно . Причому А₁ і А₂ - непорожні множини. Оскільки М є зв’язною множиною, то одна із множин А₁ або А₂ містить хоча б одну точку дотику другої. Нехай х₀А₁ і є точкою дотику множини А₂. Нехай f(x₀)=y₀ , у₀ є В₁. Візьмемо довільний окіл точки у₀. Внаслідок неперервності функції f в точці х₀ знайдеться окіл точки х₀ такий, що, коли то . Так як х₀ – точка дотику множини А₂, то в околі є хоча б одна точка з цієї множини, а значить в є хоча б одна точка з В₂, тобто точка у₀ є точкою дотику множини В₂.

Аналогічно показуємо, що, якщо х₀А₂ і є точкою дотику А₁, то у₀=f(x₀) є В₂ і є точкою дотику В₁. Теорему доведено.

Означення 3.2. Відкрита зв’язна множина, називається областю.

Розділ 5. Компактні множини § 1. Компакти і їх властивості

Нехай Х – метричний простір, К – множина з цього простору.

Означення1.1. Множина К метричного простору Х, називається компактом, якщо з будь-якої послідовності елементів цієї множини можна виділити підпослідовність, збіжну до точки, яка належить К.

Теорема 1.1. Всякий компакт К метричного простору Х є замненою множиною.

Доведення. Нехай К компакт і х₀ гранична точка К. Візьмемо послідовність {x_n}, x_n є К, таку, що (існування такої послідовності слідує з теореми 1.1. розділу 3.). Оскільки К компакт, то з {x_n} можна виділити підпослідовність , яка збігається до точки х^*, яка належить К. Оскільки границя послідовності і границя будь-якої її підпослідовності рівні, то х^*=х₀. Таким чином х₀К, а це означає, що К є замкненою множиною.

Теорема 1.2. Всякий компакт К, метричного простору К є обмеженою множиною.

Доведення. Припустимо, що К необмежена множина. Виберемо довільну точку . Тоді для кожного натурального числа п, знайдеться елемент х_п є К такий, що . Візьмемо послідовність {x_n}. Так, як К є компактом, то з {x_n} можна виділити підпослідовність , збіжну до точки х^*, яка належить К, . Це означає, що . З нерівності слідує , коли . Прийшли до протиріччя. Теорему доведено.

Означення 1.2. Діаметром множини Е метричного простору Х, називається точна верхня межа множини {}, де x^’ , x^” є Е.

Теорема 1.3. Нехай задана послідовність компактів метричного простору Х. Тоді переріз не порожний.

Доведення. Вибравши в кожному К_п по точці х_п, одержимо послідовність . Так як К₁ є компакт, то з можна виділити підпослідовність ,яка збігається до точки, яка належить К₁. Нехай . Оскільки при кожному п, починаючи з п_к>n, всі члени послідовності належатьК_п і К_п замкнена, то х₀ є К_п. А це значить, що .

Теорема 1.4. Нехай маємо послідовність компактів метричного простору Х, діаметри яких прямують до нуля. Тоді існує єдина точка, яка належить всім компактам.

Доведення. Те, що існує точка, яка належить всім компактам слідує з попередньої теореми. Покажемо, що така точка – єдина.

Припустимо, що існує хоча б дві різні точки х^’ i x^”, які належать всім компактам. Нехай , тоді діаметри всіх К_п не менші d. Так як діаметри компактів пямують до нуля, то починаючи з деякого номера, їхні діаметри будуть менші d. Прийшли до протиріччя. Теорему доведено.

§ 2. Компакти в просторі Rⁿ

Відомо, що з будь-якої обмеженої послідовності {x_n} дійсних чисел, можна виділити збіжну підпослідовність. Ця теорема називається теоремою Больцано-Вейєрштраса. Аналогічна теорема справедлива для послідовності з простору Rⁿ.

Теорема 2.1. (теорема Больцано-Вейєрштраса в Rⁿ ). З будь-якої обмеженої послідовності в просторі Rⁿ, можна виділити збіжну підпослідовність.

Доведення. Нехай маємо послідовність х⁽¹⁾, х⁽²⁾,…,х^(m),..елементів простору Rⁿ, x^(m)=(x₁^(m), x₂^(m),…,x_n^(m)). Припустимо, що дана послідовність обмежена. Тоді існує точка х⁽⁰⁾=(х₁⁽⁰⁾. х₂⁽⁰⁾,…,х_п⁽⁰⁾ ) і дійсне число r таке, що , для всіх т. Тобто для всіх т виконується нерівність:

(2.1).

З нерівності , вірній при k=1,2,…,n, слідує, що кожна з числових послідовностей {x_k^(m)} – обмежена.

Візьмемо послідовність {x₁^(m)}. На основі теореми Больцано-Вейєштраса для дійсних чисел, з цієї послідовності можна виділити збіжну підпослідовність , .

Розглянемо підпослідовність послідовності {x₂^(m)}. З неї можна виділити збіжну підпослідовність . Нехай , і т. д. З підпослідовності виділити збіжну підпослідовність , .

Візьмемо підпослідовність , послідовності {х^(т)}, . Оскільки , ,..., , то , де х^*=(х₁^*,...,х_п^* ). Теорему доведено.

Іноді дану теорему формулюють в іншому вигляді.

Теорема 2.1^/. Будь-яка нескінченна обмежена множина в Rⁿ, має хоча б одну граничну точку.

Доведення. Нехай обмежена нескінченна множина, тоді з неї можна виділити послідовність {х^(т)}, причому х^(k) х^(р), якщо kp. Внаслідок теореми 2.1, з цієї послідовності можна виділити збіжну підпослідовність. Нехай границя цієї підпослідовності дорівнює х^*. На основі теореми 1.1 розділу 3 (критерію того, що дана точка є граничною точкою множини), х^* є Е^/.

Теорема 2.2. Для того, щоб множина К простору Rⁿ, була компактом, необхідно і достатньо, щоб вона була замкненою і обмеженою.

Доведення. Необхідність, слідує з теорем 2.1 і 2.2. Доведемо достатність.

Візьмемо послідовність {x^(m)}, х_т є К. З обмеженості множини К, слідує обмеженіть {x^(m)}. На основі теореми Больцано-Вейєрштраса, з цієї послідовності можна виділити збіжну підпослідовність . Нехай . Очевидно х⁽⁰⁾ – точка дотику множини К. З замкненості К випливає, що х⁽⁰⁾ є К. Звідси робимо висновок, що К – компакт.