§ 2. Збіжність в просторах Rn, l2, c[a;b]

В цьому параграфі ми розглянемо, що означає збіжність в деяких просторах.

Розглянемо збіжність в просторі Rⁿ.

Нехай маємо послідовність ,,і, де. Згідно з означенням границі послідовності, маємо: .

З нерівності , вірної при кожному k (k=1,2,…,n), робимо висновок, що при кожному k .

Таким чином ми бачимо, що із збіжності послідовності в метриці простору , слідує покоординатна збіжність.

Вірно і навпаки. Нехай при кожному і, і=1, 2, …,n . Тоді , а це означає, що .

Висновок: збіжність в просторі Rⁿ еквівалентна покоординатній збіжності.

Розглянемо збіжність в l₂.

Нехай ,,. Як і в попередньому випадку переконуємось, що з збіжності послідовності в метриці простору, слідує покоординатна збіжність.

Обернене твердження, взагалі кажучи, невірне. Візьмемо послідовність: ; …; ;…

Для кожного і, і=1, 2,…, існує границя , в той час, як послідовністьпросторуне належить.

Розглянемо збіжність в просторі С[a;b].

Нехай , де(збіжність розуміється в метриці простору). Це означає, щоабо. Візьмемо, тоді існує натуральне, що привиконується нерівність:, а значить, що при всіхвиконується нерівність. Тобто послідовність функцій збігається рівномірно. Таким чином, із збіжності послідовності в метриці простору С[a;b] слідує рівномірна збіжність.

Нехай послідовність {x_n(t)} функцій з C[a;b] збігається рівномірно до функції x₀(t). З теорем про неперервність границі рівномірно-збіжної послідовності неперервних функцій, слідує, що х₀(t) неперервна функція, тобто x₀C[a;b]. Візьмемо >0 . Тоді існує натуральне число N, що при всіх виконується нерівність , для всіх , а значить, і при. Звідси робимо висновок. Тобто послідовність збігається до в метриці простору С[a;b].

Таким чином можна зробити висновок: збіжність послідовності функцій в метриці простору С[a;b] еквівалентна рівномірній збіжності цієї послідовності на сегменті [a;b].

Розділ 3. Відкриті і замкнені множини § 1. Деякі поняття теорії метричних просторів

Нехай маємо метричний простір Х, і Е – множина цього простору, х₀Х – точка простору Х.

Означення 1.1. Точка , називається граничною точкою множини Е, якщо в будь-якому околі цієї точки міститься хоча б одна точка множини Е, відмінна від .

Означення 1.2. Точка , називається граничною точкою множини Е, якщо в будь-якому околі цієї точки міститься нескінченна множина точок множини Е.

Означення 1.1 і 1.2 – еквівалентні. Те, що з другого означення випливає перше, очевидно. Покажемо, що з першого означення слідує друге. Доведемо це методом від супротивного! Припустимо, що гранична точка множини Е згідно означення 1.1 і не є граничною згідно означення 1.2. Тоді існує окіл S(x₀;) такий, що в ньому міститься скінченна кількість точок з множини Е. Нехай це будуть точки , причому . Серед чисел , вибираємо найменше. Нехай воно дорівнює r₀. Візьмемо окіл S(x₀;r₀), очевидно . Тоді в околі S(x₀;r₀) нема жодної точки з множини Е, відмінної від . Таким чином ми прийшли до протиріччя.

Означення 1.3. Множину граничних точок множини Е називають похідною множиною множини Е.

Похідну множину позначають .

Теорема 1.1. Для того, щоб точка була граничною точкою множини Е, необхідно і достатньо, щоб існувала збіжна до послідовність попарно різних і відмінних від точок .

Доведення. Необхідність. Нехай . В кулі існує безліч точок з множини Е. Візьмемо одну з них, яка відмінна від і позначимо її . В кулі також є нескінченна множина точок з Е. Візьмемо одну з них, відмінну від і і позначимо її . Аналогічно з кулі відділяємо точку , яка належить множині Е і відмінна від . Продовжуючи цей процес до нескінченності, одержимо послідовність , , всі різні і . Так, як , коли , то .

Достатність. Нехай , , коли , і . Тоді для всякогоіснує натуральне числоN таке, що при точки , тобто містяться в -околі точки . Отже гранична точка множини Е.

Означення 1.4. Точка , називається точкою дотику множини , якщо в будь-якому околі цієї точки міститься хоча б одна точка з множини Е.

З означення ми бачимо, що точками дотику множини Е є точки самої множини і точки, які є граничними точками для неї.

Означення 1.5. Точка, яка належить множині, але не є граничною для неї, називається ізольованою точкою множини.

Означення 1.6. Точка , називається межовою точкою множини , якщо в будь-якому її околі є точки, які належать даній множині, і точки, які їй не належать.

Означення 1.7. Точка , називається внутрішньою точкою множини , якщо вона належить цій множині разом з деяким своїм околом.