§ 2. Існування неявної функції багатьох змінних

У цьому параграфі ми розглянемо узагальнення вище доведеної теореми для випадку функції двох змінних.

Теорема 2.1 НехайМ₀(х₀,у₀,z₀)R³іF(x,y,z)такі, що

1) F(x₀,y₀,z₀)=0;

2) в деякому околі точки М₀, функціяF(x,y,z)іF_x; F_y;F_z неперервні;

3) F_z(x₀,y₀,z₀)0.

Тоді в деякому паралелепіпеді П={x,y,z: x₀-₁<x<x₀+₁, y₀-₂<y<y₀-₂,

z₀-₃<z<z₀+₃} рівнянняF(x,y,z)визначатиме єдину функціюz=F(x,y),яка буде визначена в прямокутнику П₁={(х,у): x₀-₁<x<x₀+₁, y₀-₂<y<y₀-₂}, яка буде неперервно диференційовною в цьому прямокутнику.

Частинні похідні будуть обчислюватися за формулами:

;

Аналогічна теорема має місце для випадку функції від більше ніж 3-х змінних.

§ 3. Існування неявної функції, яка задається системою рівнянь

Іноді буває, що неявні функції задаються системою рівнянь. При цьому має місце така теорема.

Теорема 3.1 Нехай маємо таку систему: (3.1)

і– точка, координати якої задовільняють кожному рівнянню системи (3.1).

Тоді, якщо:

1) в деякому околі точки М₀, існують всі часткові похідні першого порядку функційF₁,…,F_m,при чому частинні похідні, де;, будуть неперервні в точціМ₀;

2) величина, яка називається якобіяном і позначається

відмінна від нуля в точціМ₀,то існують додатні числа₁>0, ₂>0,…,_m>0та окіл точки такий, що в ньому існує єдиний набір функцій:

U₁=₁(x₁,…,x_n)

U₂=₂(x₁,…,x_n)

………………..

U_m=₂(x₁,…,x_n),

які є розв’язками системи (3.1). В межах цього околу матимуть місце нерівності:

Кожна з функцій _іє неперервною в цьому околі точкиМ₀ та диференційовною в ньому.

В зв’язку з цією теоремою виникає питання, а як же знайти частинні похідні від функцій _і, які одержалися в попередній теоремі. Адже із формулювання зрозуміло, що теорема стверджує тільки існування тих функцій і не дає можливості їх явно задати. Отже, як знайти їх частинні похідні?

Для цього продиференціюємо кожне із рівнянь системи (3.1) по змінній х_1.Зважаючи на те, щох_і – незалежні змінні, аU_i– функції відх₁...х_п, матимемо:

……………………………………………

Ми одержимо систему m лінійних рівнянь відноснот невідомих. Головний визначник цієї системи це є якобіян, взятий в точціМ₀, який за умовою теореми не дорівнює нулю.

Розв’язавши цю систему, ми знайдемо

Для того, щоб знайти частинні похідні по інших змінних зробимо те саме.

Розділ 5. Екстремуми функцій § 1. Поняття екстремума функцій багатьох змінних

Нехай функція U=f(x₁,x₂,…,x_n) задана на множині ЕR^п.

Означення 1.1 Будемо говорити, що в точці функція маємаксимум, якщо існує окіл цієї точки такий, що для будь-яких точок М із цього околу, які належать множині Е, виконується нерівність: f(M)≤f(M₀).

Означення 1.2 Будемо говорити, що в точці функція маємінімум, якщо існує окіл цієї точки такий, що для будь-яких точок М із цього околу, які належать множині Е, виконується нерівність: f(M)≥f(M₀).

Як і в одномірному випадку точки максимуму та мінімуму функції називають точками екстремуму.

Теорема 1.1. (Необхідні умови існування екстремуму).

Нехай функція U=f(x₁,…x_n), яка задана в області D, має в точці екстремум. Якщо в цій точці існують всі її частинні похідні 1-го порядку, то всі вони дорівнюють нулю: .

Доведення. Нехай дана функція в даній точці має максимум. Тоді функція , як функція від однієї змінної пох₁має в точці х⁰₁ теж максимум, причому похідна в цій точці дорівнює частинній похідній . Оскільки функція має похідну в цій точці і ця точка є для неї точкою максимуму, то за відомою теоремою з одномірного аналізу її похідна, а отже і , аналогічно і з всіма іншими частинними похідними.

Аналогічно доводиться теорема, коли функція має мінімум.

Теорему доведено.

Означення 1.3 Точку М₀, в якій всі частинні похідні функцій , або не існують, називають критичною точкою цієї функції.

Точки в яких всі частинні похідні 1-го порядку дорівнюють нулю, називають ще й стаціонарними.

Таким чином, щоб функція мала екстремум в даній точці необхідно, щоб ця точка була критичною. Наступний приклад показує, що це не є достатньою умовою.

Розглянемo функцію z=xy. Точка (0,0) тут є критичною, але в ній екстремуму немає. Бо який би ми окіл не взяли, в ньому існують точки в яких значення функції більші від значень функції в точці (0,0) та існують точки, в яких значення функції менші.