- •Міністерство освіти і науки україни
- •Частина I Елементи функціонального аналізу Розділ 1. Метричні простори § 1. Поняття метричного простору
- •§ 2. Нормований метричний простір
- •§ 3. Скалярний добуток
- •§ 4. Приклади метричних просторів
- •Розділ 2. Збіжність в метричних просторах § 1. Границя послідовності
- •Нехай маємо послідовність
- •§ 2. Збіжність в просторах Rn, l2, c[a;b]
- •Розділ 3. Відкриті і замкнені множини § 1. Деякі поняття теорії метричних просторів
- •§ 2. Замикання і його властивості
- •§ 3. Замкнені множини і їх властивості
- •§ 4. Відкриті множини і їх влативості
- •Розділ 4. Неперервні відображення § 1. Поняття функції
- •§ 2. Границя і неперервність функції
- •§ 3. Зв’язні множини. Збереження зв’язності при неперервних відображеннях
- •Розділ 5. Компактні множини § 1. Компакти і їх властивості
- •§ 3. Критерій компактності
- •§ 4. Властивості функцій неперервних на компакті
- •Розділ 6. Повні метричні простори § 1. Приклади повних метричних просторів
- •§ 2. Властивості повних метричних просторів
- •§ 3. Теорема Банаха
- •Частина II Диференціальне числення функцій багатьох змінних Розділ 1. Поняття дійсної функції багатьох змінних
- •Розділ 2. Диференційовність функцій багатьох змінних § 1. Поняття диференційовної функції. Часткові похідні. Необхідні умови диференційовності
- •§ 2. Достатні умови диференційовності функції багатьох змінних
- •§ 3. Диференційовність складної функції.
- •§ 4. Інваріантність форми диференціала функції багатьох змінних.
- •§ 5. Похідна за напрямком. Градієнт.
- •Розділ 3. Частинні похідні і диференціали вищих порядків § 1. Частинні похідні вищих порядків
- •§ 2. Достатні умови незалежності змішаних частинних похідних від порядку диференціювання.
- •§ 3. Диференціали вищих порядків
- •§ 4. Формула Тейлора для функцій багатьох змінних
- •Розділ 4. Неявні функції § 1. Існування неявної функції однієї змінної
- •§ 2. Існування неявної функції багатьох змінних
- •§ 3. Існування неявної функції, яка задається системою рівнянь
- •Розділ 5. Екстремуми функцій § 1. Поняття екстремума функцій багатьох змінних
- •§ 2. Деякі відомості з теорії квадратичних форм
- •§ 3. Достатні умови існування екстремуму
- •§ 4. Умовний екстремум
- •Частина III. Розробка електронного посібника “Елементи функціонального аналізу та диференціальне числення функцій багатьох змінних”
- •Програмне середовище підручника
- •Як працювати з підручником?
- •Висновки
- •Часть II.– м.: ”Наука”, 1993. – 448с.
Міністерство освіти і науки україни
Тернопільський національний педагогічний університет ім. В. Гнатюка
Фізико-математичний факультет
Кафедра математичного аналізу
Прохира Лілія Володимирівна
ДИПЛОМНА РОБОТА
Теоретичні основи для реалізації розділу “ Елементи функціонального аналізу та диференціальне числення функцій багатьох змінних” курсу математичного аналізу за допомогою комп’ютерних технологій
Наукові керівники:
доц. Талюш М. О.
доц. Балик Н. Р.
Тернопіль2005
|
З м і с т |
|
Вступ ….......................................................................................................................4 |
|
ЧАСТИНА I Елементи функціонального аналізу...............................................5 |
|
Розділ 1. Метричні простори.................................................................................. 5 |
|
§ 1. Поняття метричного простору........................................................................... 5 |
|
§ 2. Нормований метричний простір........................................................................ 6 |
|
§ 3. Скалярний добуток..............................................................................................7 |
|
§ 4. Приклади метричних просторів………………………………………………. 9 |
|
Розділ 2. Збіжність в метричних просторах....................................................... 12 |
|
§ 1. Границя послідовності...................................................................................... 12 |
|
§ 2. Збіжність в просторах Rn, l2, C[a;b]…………………………………………...16 |
|
Розділ 3. Відкриті і замкнені множини............................................................... 17 |
|
§ 1. Деякі поняття теорії метричних просторів..................................................... 17 |
|
§ 2. Замикання та його властивості..........................................................................19 |
|
§ 3. Замкнені множини та їх властивості............................................................... 21 |
|
§ 4. Відкриті множини та їх властивості................................................................ 22 |
|
Розділ 4. Неперервні відображення..................................................................... 23 |
|
§ 1. Поняття функції................................................................................................. 23 |
|
§ 2. Границя і неперервність функції...................................................................... 24 |
|
§ 3. Зв’язні множини. Збереження зв’язності при неперервних відображеннях……………………………………………………………………... 26 |
|
Розділ 5. Компактні множини.............................................................................. 26 |
|
§ 1. Компакти та їх властивості............................................................................... 26 |
|
§ 2. Компакти в просторі Rn..................................................................................... 28 |
|
§ 3. Критерій компактності...................................................................................... 30 |
|
§ 4. Властивості функцій неперервних на компакті.............................................. 32 |
|
Розділ 6. Повні метричні простори...................................................................... 34 |
|
§ 1. Приклади повних метричних просторів.......................................................... 34 |
|
§ 2. Властивості повних метричних просторів...................................................... 37 |
|
§ 3. Теорема Банаха.................................................................................................. 39 |
|
ЧАСТИНА II Диференціальне числення функцій багатьох змінних…….. 41 |
|
Розділ 1. Поняття дійсної функції багатьох змінних....................................... 41 |
|
Розділ 2. Диференційовність функцій багатьох змінних................................ 46 |
|
§ 1. Поняття диференційовної функції. Часткові похідні. Необхідні умови диференційовності.................................................................................................... 46 |
|
§ 2. Достатні умови диференційовності функції багатьох змінних……………. 49 |
|
§ 3. Диференційовність складної функції.............................................................. 50 |
|
§ 4. Інваріантність форми диференціала функції багатьох змінних.................... 53 |
|
§ 5. Похідна за напрямком. Градієнт...................................................................... 54 |
|
Розділ 3. Частинні похідні і диференціали вищих порядків........................... 57 |
|
§ 1. Частинні похідні вищих порядків.................................................................... 57 |
|
§ 2. Достатні умови незалежності змішаних частинних похідних від порядку диференціювання...................................................................................................... 58 |
|
§ 3. Диференціали вищих порядків......................................................................... 61 |
|
§ 4. Формула Тейлора для функцій багатьох змінних.......................................... 63 |
|
Розділ 4. Неявні функції………………………………………………………… 65 |
|
§ 1. Існування неявної функції однієї змінної………………………………… ...65 |
|
§ 2. Існування неявної функції багатьох змінних.................................................. 68 |
|
§ 3. Існування неявної функції, яка задається системою рівнянь.........................69 |
|
Розділ 5. Екстремуми функцій............................................................................. 71 |
|
§ 1. Поняття екстремума функцій багатьох змінних............................................. 71 |
|
§ 2. Деякі відомості з теорії квадратичних форм................................................... 72 |
|
§ 3. Достатні умови існування екстремуму............................................................ 73 |
|
§ 4. Умовний екстремум.......................................................................................... 77 |
|
ЧАСТИНА III Розробка електронного посібника “Елементи функціонального аналізу та диференціальне числення функцій багатьох змінних”.................................................................................................................... 83 |
|
Висновки...................................................................................................................92 |
|
Список використаної літератури........................................................................ 93 |
|
|
Вступ
У час активного наукового розвитку, актуальною є проблема вибору таких засобів навчання, які б давали найкращі результати. Перехід на кредитно-модульну систему, дав поштовх до використання навчально-методичного забезпечення, основу якого складають електронні підручники.
Метою дипломної роботи є підбір матеріалу для написання електронного підручника з деяких розділів курсу математичного аналізу, що сприяє підвищенню ефективності самостійної роботи студентів та створення відповідного посібника.
У ході виконання дипломної роботи нами створений такий навчальний посібник, який містить розділи “Елементи функціонального аналізу” та “Диференціальне числення функцій багатьох змінних”.
В існуючих підручниках з математичного аналізу є різні підходи до висвітлення одних і тих же питань, що викликає певні труднощі. Ці підручники писалися в той період, коли деякі питання сучасної програми не вивчались і навпаки. Тому нашим завданням було зібрати необхідні матеріали, як єдине ціле. Що ми й зробили.
Електронний підручник складається з двох частин. У першій – “Елементи функціонального аналізу”, введено поняття метричного простору, скалярного добутку, відкритих та замкнених множин, неперервних відображень. В цій частині також висвітлено теорію компактних множин, повних метричних просторів. Детально розглянуто властивості функцій неперервних на компактах, а також принцип стискуючих відображень.
У другій частині “Диференціальне числення функцій багатьох змінних” дано поняття дійсної функції багатьох змінних, часткового приросту функції по змінній хі, викладено основи диференціального числення функцій багатьох змінних. Докладно розглянуто питання диференційовності функцій, інваріантності форми диференціала та похідної за напрямком. Окремі розділи відведено для частинних похідних та диференціалів вищих порядків, теорії неявних функцій та екстремумів функцій.