- •Міністерство освіти і науки україни
- •Частина I Елементи функціонального аналізу Розділ 1. Метричні простори § 1. Поняття метричного простору
- •§ 2. Нормований метричний простір
- •§ 3. Скалярний добуток
- •§ 4. Приклади метричних просторів
- •Розділ 2. Збіжність в метричних просторах § 1. Границя послідовності
- •Нехай маємо послідовність
- •§ 2. Збіжність в просторах Rn, l2, c[a;b]
- •Розділ 3. Відкриті і замкнені множини § 1. Деякі поняття теорії метричних просторів
- •§ 2. Замикання і його властивості
- •§ 3. Замкнені множини і їх властивості
- •§ 4. Відкриті множини і їх влативості
- •Розділ 4. Неперервні відображення § 1. Поняття функції
- •§ 2. Границя і неперервність функції
- •§ 3. Зв’язні множини. Збереження зв’язності при неперервних відображеннях
- •Розділ 5. Компактні множини § 1. Компакти і їх властивості
- •§ 3. Критерій компактності
- •§ 4. Властивості функцій неперервних на компакті
- •Розділ 6. Повні метричні простори § 1. Приклади повних метричних просторів
- •§ 2. Властивості повних метричних просторів
- •§ 3. Теорема Банаха
- •Частина II Диференціальне числення функцій багатьох змінних Розділ 1. Поняття дійсної функції багатьох змінних
- •Розділ 2. Диференційовність функцій багатьох змінних § 1. Поняття диференційовної функції. Часткові похідні. Необхідні умови диференційовності
- •§ 2. Достатні умови диференційовності функції багатьох змінних
- •§ 3. Диференційовність складної функції.
- •§ 4. Інваріантність форми диференціала функції багатьох змінних.
- •§ 5. Похідна за напрямком. Градієнт.
- •Розділ 3. Частинні похідні і диференціали вищих порядків § 1. Частинні похідні вищих порядків
- •§ 2. Достатні умови незалежності змішаних частинних похідних від порядку диференціювання.
- •§ 3. Диференціали вищих порядків
- •§ 4. Формула Тейлора для функцій багатьох змінних
- •Розділ 4. Неявні функції § 1. Існування неявної функції однієї змінної
- •§ 2. Існування неявної функції багатьох змінних
- •§ 3. Існування неявної функції, яка задається системою рівнянь
- •Розділ 5. Екстремуми функцій § 1. Поняття екстремума функцій багатьох змінних
- •§ 2. Деякі відомості з теорії квадратичних форм
- •§ 3. Достатні умови існування екстремуму
- •§ 4. Умовний екстремум
- •Частина III. Розробка електронного посібника “Елементи функціонального аналізу та диференціальне числення функцій багатьох змінних”
- •Програмне середовище підручника
- •Як працювати з підручником?
- •Висновки
- •Часть II.– м.: ”Наука”, 1993. – 448с.
Розділ 6. Повні метричні простори § 1. Приклади повних метричних просторів
Раніше ми показали, що коли послідовність елементів {хп} метричного простору Х має границю, то вона фундаментальна. Був приведений приклад, який показував, що обернене твердження взагалі кажучи невірне.
Означення 1.1 Метричний простір називається повним, якщо будь-яка фундаментальна послідовність цього простору має границю.
Прикладом повного метричного простору є R – множина дійсних чисел. Простір, елементами якого є раціональні числа і відстань між числами визначається рівністю не є повним.
Покажемо повноту просторів Rn, l2, C[a;b].
Встановимо повноту Rn
Нехай маємо фундаментальну послідовність {x(m)} елементів простору Rn: x(m)=(x1(m), x2(m),…,xn(m)).
З нерівності, вірної при кожному і,(і=1,2,...,п) і фундаментальності {x(m)} випливає фундаментальність кожної з послідовностей {xi(m)}, і=1,2,…,п, а, значить і збіжність, внаслідок критерію Коші збіжності числової послідовності. Нехай . Тоді послідовність {x(m)} збігається до х(0)=(х1(0),...,хп(0)), оскільки в просторі Rn покоординатна збіжність еквівалентна збіжності в метриці цього простору. Повнота простору Rn доведена.
Розглянемо простір l2
Візьмемо довільну фундаментальну послідовність {x(n)} елементів простору l2. х(п)=(х1(п), х2(п),...,хі(п),...) . Як це було зроблено вище, встановлюємо, що при кожному і, послідовність {xi(n)} – фундаментальна, а значить – збіжна.
Нехай . Покажемо, що послідовність х(0)=(х1(0),х2(0),..,хі(0),..) є елементом простору l2 і .
Візьмемо e >0. Тоді існує натуральне число N таке, що при всіх п³N i m³N виконується нерівність або те саме
(1.1)
З цієї нерівності слідує, що при кожному фіксованому натуральному р
(1.2)
Якщо ми п зафіксуємо, а т спрямуємо до нескінченності, то одержимо:
.
Оскільки ця нерівність вірна при будь-якому натуральному р, то перейшовши до границі, коли р прямує до нескінченності, одержимо:
(1.3)
Звідси виливає, що послідовність (х1(п)-х1(0), х2(п)-х2(0),...,хі(п)-хі(0),...)Îl2. З рівності хі(0)=хі(п)-(хі(п)-хі(0)) і з того, що l2 є лінійною системою, робимо висновок, що х(0)=(х1(0),...,хі(0),...)Îl2. З нерівності (1.3), яка вірна при будь-якому n³N робимо висновок, що . Повнота простору l2 доведена.
Розглянемо простір С[a;b]
Нехай {xn} – фундаментальна послідовність елементів простору С[a;b]. Візьмемо e >0. Тоді існує натуральне число N таке, що при п³N i m³N виконується нерівність: або , а це означає, що при будь-якому t виконується нерівність: при п³N i m³N.
З критерію Коші рівномірної збіжності робимо висновок, що дана послідовність функцій збігається рівномірно до х0 на сегменті [a;b]. Оскільки всі хп неперервні на [a;b], то х0 теж неперервна на даному сегменті. Тобто х0ÎС[a;b]. Оскільки збіжність {xn} в просторі С[a;b] еквівалентна рівномірній збіжності цієї послідовності, то робимо висновок, що . Повнота С[a;b] доведена.
Нехай маємо лінійний нормований простір.
Лінійний нормований простір, називається простором Банаха (або банаховим простором), якщо він є повним простором в метриці породженій нормою. Наведені вище приклади є прикладами банахових просторів. Серед банахових просторів особливе місце займають гільбертові простори.
Означення. Нескінченно вимірна лінійна система, на якій введено скалярний добуток, називається простором Гільберта (або гільбертовим простором), якщо вона є повним метричним простором в метриці породженій скалярним добутком.
Простір l2 є простором Гільберта.