- •Міністерство освіти і науки україни
- •Частина I Елементи функціонального аналізу Розділ 1. Метричні простори § 1. Поняття метричного простору
- •§ 2. Нормований метричний простір
- •§ 3. Скалярний добуток
- •§ 4. Приклади метричних просторів
- •Розділ 2. Збіжність в метричних просторах § 1. Границя послідовності
- •Нехай маємо послідовність
- •§ 2. Збіжність в просторах Rn, l2, c[a;b]
- •Розділ 3. Відкриті і замкнені множини § 1. Деякі поняття теорії метричних просторів
- •§ 2. Замикання і його властивості
- •§ 3. Замкнені множини і їх властивості
- •§ 4. Відкриті множини і їх влативості
- •Розділ 4. Неперервні відображення § 1. Поняття функції
- •§ 2. Границя і неперервність функції
- •§ 3. Зв’язні множини. Збереження зв’язності при неперервних відображеннях
- •Розділ 5. Компактні множини § 1. Компакти і їх властивості
- •§ 3. Критерій компактності
- •§ 4. Властивості функцій неперервних на компакті
- •Розділ 6. Повні метричні простори § 1. Приклади повних метричних просторів
- •§ 2. Властивості повних метричних просторів
- •§ 3. Теорема Банаха
- •Частина II Диференціальне числення функцій багатьох змінних Розділ 1. Поняття дійсної функції багатьох змінних
- •Розділ 2. Диференційовність функцій багатьох змінних § 1. Поняття диференційовної функції. Часткові похідні. Необхідні умови диференційовності
- •§ 2. Достатні умови диференційовності функції багатьох змінних
- •§ 3. Диференційовність складної функції.
- •§ 4. Інваріантність форми диференціала функції багатьох змінних.
- •§ 5. Похідна за напрямком. Градієнт.
- •Розділ 3. Частинні похідні і диференціали вищих порядків § 1. Частинні похідні вищих порядків
- •§ 2. Достатні умови незалежності змішаних частинних похідних від порядку диференціювання.
- •§ 3. Диференціали вищих порядків
- •§ 4. Формула Тейлора для функцій багатьох змінних
- •Розділ 4. Неявні функції § 1. Існування неявної функції однієї змінної
- •§ 2. Існування неявної функції багатьох змінних
- •§ 3. Існування неявної функції, яка задається системою рівнянь
- •Розділ 5. Екстремуми функцій § 1. Поняття екстремума функцій багатьох змінних
- •§ 2. Деякі відомості з теорії квадратичних форм
- •§ 3. Достатні умови існування екстремуму
- •§ 4. Умовний екстремум
- •Частина III. Розробка електронного посібника “Елементи функціонального аналізу та диференціальне числення функцій багатьох змінних”
- •Програмне середовище підручника
- •Як працювати з підручником?
- •Висновки
- •Часть II.– м.: ”Наука”, 1993. – 448с.
§ 2. Властивості повних метричних просторів
Теорема 2.1. Будь-яка замкнена множина F повного метричного простору Х, сама є повним метричним простором (метрика в F визначається так само, як і в Х).
Доведення. Нехай {xn} – фундаментальна послідовність, хпF. Оскільки Х– повний простір, то існує границя цієї послідовності . Так, якF – замкнена множина, то х0F. Отже, будь-яка фундаментальна послідовність точокхпF,має вFграницю. Теорему доведено.
Теорема 2.2.Для того, щоб метричний простірХбув повним, необхідно і достатньо, щоб у ньому будь-яка послідовність вкладених одна в одну замкнених куль, радіуси яких прямують до нуля, мала непорожній переріз.
Доведення.Необхідність.Нехай простірХє повним простором, і – послідовність вкладених одна в одну замкнених куль цього простору, причому .
Покажемо, що послідовність {xn}, центрів цих куль, утворює фундаментальну послідовність. Дійсно, так як приm>n , то . Оскількиrn0, то для будь-якого >0 існує натуральне число Nтаке, що приnNвиконується нерівністьrn<, а, значить при nNмаємо . А це означає, що{xn}– фундаментальна послідовність. Внаслідок повнотиХ,існує . Кулі вкладені одна в одну, тому приkn. Оскільки замкнена множина, то , при кожномуп, а значить. Необхідність доведена.
Достатність.Нехай будь-яка послідовність вкладених замкнених куль, радіуси яких прямують до 0, має спільну точку. Покажемо, що простірХє повним простором. Нехай {xn} фундаментальна послідовність точок цього простору. З означення фундаментальної послідовності матимемо:0, існуєп()Nтаке, щотN, mn(), справедлива нерівність:
(2.1).
Із (2.1) випливає, що для знайдетьсяn1N: m>n1,
(2.2).
Утворимо замкнену кулю з центром в і радіусом рівним 1. На основі нерівності (2.1), для , знайдетьсяn2N, n2>n1: m>n2. Утворимо знову замкнену кулю з центром в і радіусом рівним 1/2. Зазначимо, що. Візьмемо будь-якеx, тоді
,
звідси випливає, що . Отже . Продовжуючи цей процес, одержимо послідовність вкладених замкнених кульрадіуси яких прямують до нуля, а центри знаходяться в точках. На основі припущення теореми, існує точках0, яка належить всім. Оскільки для кожного k виконується нерівність , то. Так, як фундаментальна послідовність {xn}має збіжну підпослідовність, то на основі теореми 1.6. розділу 2, послідовність{xn} збіжна. Теорему доведено.
Теорема 2.3. Нехай в повному метричному просторі маємо послідовність вкладених одна в одну замкнених куль, радіуси яких прямують до нуля. Тоді існує єдина точка, яка належить всім цим кулям.
Доведення.Нехай – послідовність замкнених куль, які задовільняють умові теореми: ,rn0, коли . Існування точки спільної всім кулям слідує з теореми 2.2. Припустимо, що таких точок є більше ніж одна і нехай – точки, які належать всім кулям. Так, як при всіхп, то маємо , що неможливо, боrn0 при п. Значить точка, яка є спільною для всіх куль – єдина.
§ 3. Теорема Банаха
Одним із важливих прикладів неперервних відображень є, так звані, стискуючі відображення.
Означення 3.1.Нехайf відображення метричного просторуX1 вX2. Відображення називається стискуючим, якщо : 0<<1: x, yX1, справедлива нерівність: .
Легко показати, що стискуюче відображення є неперервним. Дійсно, нехай х0Х1. Тоді . Якщохх0, то , а значить . Отже, відображення є неперервним.
Дуже часто в математиці виникає потреба з’ясувати при яких умовах те чи інше рівняння має на деякій множині єдиний розв’язок. При розв’язуванні цієї задачі використовують властивості стискуючих відображень заданих в повних метричних просторах.
Означення 3.2. Нехай f відображає Х в Х. Точка х0Х, називається нерухомою точкою оператора f , якщо f(x0)=x0.
Теорема (Банаха). Якщо f:XX є стискуючим відображенням, і Х повний метричний простір, то відображення f в даному просторі має єдину нерухому точку.
Доведення. Візьмемо довільне х0Х, х1=f(x0), x2=f(x1),…xn=f(xn-1),… В результаті одержали послідовність {xn}X. Тоді
(3.1).
Візьмемо будь-яке п, тоді p
(n+p-1+n+p-2+… ...+n)(x1;x0)<(n+n+1+…+n+p-1+n+p+…)(x1;x0)= (x1;x0).
Оскільки 0<<1, то останній вираз при п, прямує до нуля так, що >0, n0: nn0, справедлива .
З останніх двох нерівностей одержуємо, що послідовність {xn} є фундаментальною, а оскільки простір повний, то і збіжною до деякої точки аХ.
Внаслідок неперервності відображення f маємо:
.
Звідси слідує, що а є нерухомою точкою цього відображення.
Для доведення єдиності точки а, припустимо, що b є ще одна нерухома точка відображення: b=f(b), причому ab. Тоді матимемо:
, бо 0<<1.
Прийшли до суперечності. Теорему доведено.