§ 3. Скалярний добуток

Означення 3.1. Нехай маємо лінійну систему Х. Говорять, що на лінійній системі Х введено скалярний добуток, якщо будь-якій парі елементів ііз цієї системи ставиться у відповідність дійсне число, яке задовільняє наступним умовам:

1)(х,у)=(у,х);

2)(х+у,z)=(x,z)+(y,z);

3) для довільного дійсного числа і довільнихвиконується рівність (х,у)=(х,у);

4)(х,х)0 причому (х,х)=0 тоді і тільки тоді коли х=.

Число (х,у) називають скалярним добутком елементів х і у. З означення скалярного добутку випливає:

, .

Позначимо . Пізніше ми покажемо, що ця величина задовольняє всім умовам норми.

Теорема 3.1. Нехай Х – лінійна система , на якій введено скалярний добуток. Тоді для будь-яких імає місце нерівність

(3.1)

Нерівність (3.1) називається нерівністю Коші-Буняковського.

Доведення. Якщо , то нерівність (3.1) очевидна.

Розглянемо випадок, коли . Нехай, очевидно,. Розглянемо скалярний добутокдеλ – довільне дійсне число. Внаслідок означення скалярного добутку (умова 4) при довільному. Перетворивши вираз, який стоїть в лівій частині нерівності одержимо:, або. Оскільки квадратний тричлен при всіх дійснихневідє’мний, то дискримінант цього тричлена недодатній, тобтозвідси і слідує нерівність (3.1).

Покажемо, що величина є нормою. Виконання умови, очевидне. Причомутоді і тільки тоді, коли. Це слідує із умови 4) означення скалярного добутку. З рівності, де– дійсне число, слідує, що. Переконаємось, що. Так, як,

то внаслідок нерівності (3.1) маємо: . Звідси слідує: . Нерівність доведена.

Таким чином ми бачимо, що лінійна система, на якій введено скалярний добуток, стає лінійним нормованим простором, якщо норму визначити рівністю , а значить і метричним, якщо за відстань між елементамих і у прийняти величину .

§ 4. Приклади метричних просторів

I. Простір Rⁿ. Розглянемо множину, елементами якої є упорядковані набори n дійсних чисел . Якщо сумуелементівівизначимо рівністю, а добуток, де– рівністю, і за нульовий елемент приймемо, то дана множина стане лінійною системою. Введемо скалярний добуток елементівх і у формулою:

(4.1).

Покажемо, що при цьому виконуються всі умови скалярного добутку.

1)– очевидно.

2).

3)Нехай ,,. Тоді

.

4)Для довільного х із даної множини маємо . Звідси робимо висновок: , причому тоді і тільки тоді, коли всі.Таким чином формула (4.1) визначає скалярний добуток.

Ввівши норму на даній лінійній системі формулою , ми одержуємо лінійний нормований простір.

Тепер можна ввести відстань між елементами таким чином: .

Означення 4.1. Простір, елементами якого є упорядковані набори п дійсних чисел , а відстань між елементами,визначається рівністю, називаєтьсяпростором .

II. Простір l_2. Розглянемо множину елементами якої є послідовності дійсних чисел таких, що.

Введемо суму елементів ітаким чином: . Покажемо, щоналежить цій множині, тобто. Так, як при кожномуп виконується нерівність і кожний із рядів; збіжний, то на основі ознаки порівняння збіжності додатніх рядів, ряд теж збіжний, тобтох+у належать даній множині.

Якщо за добуток дійсного числа на елементх із цієї множини приймемо послідовність , а за нульовий елемент приймемо, то дана множина стане лінійною системою. Введемо скалярний добуток елементівіформулою

(4.2).

Покажемо, що ряд, який стоїть в лівій частині рівності (4.2) є збіжний. З нерівності вірній при кожному, на основі ознаки порівняння збіжності додатніх рядів, слідує абсолютна збіжність цього ряду. Виконання умов скалярного добутку перевіряється так само, як і в попередньому пункті.

Введемо норму:

(4.3).

Таким чином дана лінійна система є нормованим лінійним простором, а значить і метричним, якщо за відстань між іприйняти: (4.4).

Означення 4.2. Простір, елементами якого є послідовності дійсних чисел, які задовольняють умову, а відстань між елементамиівизначається формулоюназивається простором .

III.Простір С[а,в]. Розглянемо множину функцій неперервних на сегменті [а,в]. Якщо під сумою двох функцій розуміти звичайну суму функцій, під добутком числа на функцію, звичайний добуток числа на функцію, а за нульовий елемент прийняти функцію тотожньо рівну нулю, то дана множина стає лінійною системою. Введемо на цій системі норму рівністю:

(4.5)

Вираз в правій частині існує для будь-якої функції з даної множини внаслідок 2-ї теореми Вейєрштрасса.

Покажемо, що виконуються умови 1)-3) означення норми.

1.Нерівність , причому, тоді і тільки тоді колиочевидна.

2..

3.Поскільки при кожному виконується нерівність, то і , або те саме, що.

Таким чином наша лінійна система стає нормованим простором, якщо норму визначити рівністю (4.5), а значить і метричним, якщо відстань між точками х, у цього простору визначити формулою

(4.6).

Означення 4.3. Простір елементами якого є функції неперервні на сигменті і відстань визначається формулою (4.6) називаєтьсяпростором .