- •Міністерство освіти і науки україни
- •Частина I Елементи функціонального аналізу Розділ 1. Метричні простори § 1. Поняття метричного простору
- •§ 2. Нормований метричний простір
- •§ 3. Скалярний добуток
- •§ 4. Приклади метричних просторів
- •Розділ 2. Збіжність в метричних просторах § 1. Границя послідовності
- •Нехай маємо послідовність
- •§ 2. Збіжність в просторах Rn, l2, c[a;b]
- •Розділ 3. Відкриті і замкнені множини § 1. Деякі поняття теорії метричних просторів
- •§ 2. Замикання і його властивості
- •§ 3. Замкнені множини і їх властивості
- •§ 4. Відкриті множини і їх влативості
- •Розділ 4. Неперервні відображення § 1. Поняття функції
- •§ 2. Границя і неперервність функції
- •§ 3. Зв’язні множини. Збереження зв’язності при неперервних відображеннях
- •Розділ 5. Компактні множини § 1. Компакти і їх властивості
- •§ 3. Критерій компактності
- •§ 4. Властивості функцій неперервних на компакті
- •Розділ 6. Повні метричні простори § 1. Приклади повних метричних просторів
- •§ 2. Властивості повних метричних просторів
- •§ 3. Теорема Банаха
- •Частина II Диференціальне числення функцій багатьох змінних Розділ 1. Поняття дійсної функції багатьох змінних
- •Розділ 2. Диференційовність функцій багатьох змінних § 1. Поняття диференційовної функції. Часткові похідні. Необхідні умови диференційовності
- •§ 2. Достатні умови диференційовності функції багатьох змінних
- •§ 3. Диференційовність складної функції.
- •§ 4. Інваріантність форми диференціала функції багатьох змінних.
- •§ 5. Похідна за напрямком. Градієнт.
- •Розділ 3. Частинні похідні і диференціали вищих порядків § 1. Частинні похідні вищих порядків
- •§ 2. Достатні умови незалежності змішаних частинних похідних від порядку диференціювання.
- •§ 3. Диференціали вищих порядків
- •§ 4. Формула Тейлора для функцій багатьох змінних
- •Розділ 4. Неявні функції § 1. Існування неявної функції однієї змінної
- •§ 2. Існування неявної функції багатьох змінних
- •§ 3. Існування неявної функції, яка задається системою рівнянь
- •Розділ 5. Екстремуми функцій § 1. Поняття екстремума функцій багатьох змінних
- •§ 2. Деякі відомості з теорії квадратичних форм
- •§ 3. Достатні умови існування екстремуму
- •§ 4. Умовний екстремум
- •Частина III. Розробка електронного посібника “Елементи функціонального аналізу та диференціальне числення функцій багатьох змінних”
- •Програмне середовище підручника
- •Як працювати з підручником?
- •Висновки
- •Часть II.– м.: ”Наука”, 1993. – 448с.
§ 2. Замикання і його властивості
Означення 2.1. Множина всіх точок дотику множини , називається замиканням даної множини.
Замикання множини будемо позначати .
З означення ми бачимо, що , де - похідна множини .
Теорема 2.1. Замикання множини має наступні властивості:
1);
2), тобто замикання множини співпадає з самим замиканням;
3)якщо і - множини метричного простору Х і , то ;
4)якщо і - множини метричного простору Х , то .
Доведення. 1)Включення очевидне.
2)Доведемо, що
(2.1).
Перш за все замітимо, що на основі властивості 1),
(2.2).
Покажемо протилежне включення:
(2.3).
Нехай . Візьмемо довільний -окіл, , точки . В цьому околі є хоча б одна точка з . Позначимо її . Візьмемо і розглянемо -окіл, , точки . Оскільки для будь-якої точки х з цього околу виконується нерівність:
,
то робимо висновок, що
(2.4)
Так як , то в околі міститься хоча б одна точка з множини Е, тому внаслідок (2.4), в околі також міститься хоча б одна точка з множини Е. Тобто . Цим самим доведено співвідношення (2.3). З (2.2) і (2.3) слідує рівність (2.1).
3)Якщо , то кожна точка дотику є точкою дотику , цим самим властивість 3) доведена.
4)Доведемо, що
(2.5).
Покажемо, що
(2.6).
Нехай . Переконаємось, що , або . Якщо , то існує окіл точки такий, що в ньому нема жодної точки з . Якби не належала , то існував би окіл в якому нема жодної точки з . Тоді в околі , де нема точок ні з , ні з , а значить і з об’єднання , тобто , таким чином , або , а значить . Включення (2.5) доведено.
Доведемо обернене включення. З того, що і , слідує, що і , а значить і
(2.7).
З (2.6) і (2.7) слідує (2.5). Теорему доведено.
§ 3. Замкнені множини і їх властивості
Означення 3.1. Множина F метричного простору Х, називається замкненою, якщо вона містить всі свої граничні точки.
Інакше кажучи, F – замкнена множина, якщо .
Наприклад: сегмент [a;b] – замкнена множина; множина, яка складається з скінченної кількості точок – замкнена (). Покажемо, що замкнена куля є замкненою множиною. Для цього треба показати, що якщо –гранична точка , то . Нехай гранична точка . Тоді внаслідок теореми 1.1, знайдеться послідовність , яка збігається до . За теоремою 1.4 розділу 2, маємо . Оскільки , то , тобто . Твердження доведено.
Теорема 3.1. Об’єднання скінченного числа замкнених множин є множиною замкненою.
Доведення. Нехай , – замкнені множини. Покажемо, що F – замкнена множина. Нехай . Покажемо, що є граничною точкою хоча б однієї з . Доведемо від супротивного. Припустимо, що не є граничною точкою жодної з множин . Так як , то існує окіл в якому нема жодної точки з (відмінної від ). Аналогічно, існує окіл , в якому нема жодної точки з (відмінної від ) і т. д. Існує окіл в якому нема жодної точки з (відмінної від ). Тоді в околі де нема жодної точки з , а значить і з об’єднання (відмінної від ). Тобто . Прийшли до протиріччя. Таким чином . Внаслідок замкненості точки , а значить і об’єднанню . Теорему доведено.
Зауваження: об’єднання нескінченної множини замкнених множин може і не бути замкненим. Це випливає з наступного прикладу: .
Кожна з множин замкнена, а об’єднання цих множин не є замкненим, ((-1;1) не є замкненою множиною).