- •Міністерство освіти і науки україни
- •Частина I Елементи функціонального аналізу Розділ 1. Метричні простори § 1. Поняття метричного простору
- •§ 2. Нормований метричний простір
- •§ 3. Скалярний добуток
- •§ 4. Приклади метричних просторів
- •Розділ 2. Збіжність в метричних просторах § 1. Границя послідовності
- •Нехай маємо послідовність
- •§ 2. Збіжність в просторах Rn, l2, c[a;b]
- •Розділ 3. Відкриті і замкнені множини § 1. Деякі поняття теорії метричних просторів
- •§ 2. Замикання і його властивості
- •§ 3. Замкнені множини і їх властивості
- •§ 4. Відкриті множини і їх влативості
- •Розділ 4. Неперервні відображення § 1. Поняття функції
- •§ 2. Границя і неперервність функції
- •§ 3. Зв’язні множини. Збереження зв’язності при неперервних відображеннях
- •Розділ 5. Компактні множини § 1. Компакти і їх властивості
- •§ 3. Критерій компактності
- •§ 4. Властивості функцій неперервних на компакті
- •Розділ 6. Повні метричні простори § 1. Приклади повних метричних просторів
- •§ 2. Властивості повних метричних просторів
- •§ 3. Теорема Банаха
- •Частина II Диференціальне числення функцій багатьох змінних Розділ 1. Поняття дійсної функції багатьох змінних
- •Розділ 2. Диференційовність функцій багатьох змінних § 1. Поняття диференційовної функції. Часткові похідні. Необхідні умови диференційовності
- •§ 2. Достатні умови диференційовності функції багатьох змінних
- •§ 3. Диференційовність складної функції.
- •§ 4. Інваріантність форми диференціала функції багатьох змінних.
- •§ 5. Похідна за напрямком. Градієнт.
- •Розділ 3. Частинні похідні і диференціали вищих порядків § 1. Частинні похідні вищих порядків
- •§ 2. Достатні умови незалежності змішаних частинних похідних від порядку диференціювання.
- •§ 3. Диференціали вищих порядків
- •§ 4. Формула Тейлора для функцій багатьох змінних
- •Розділ 4. Неявні функції § 1. Існування неявної функції однієї змінної
- •§ 2. Існування неявної функції багатьох змінних
- •§ 3. Існування неявної функції, яка задається системою рівнянь
- •Розділ 5. Екстремуми функцій § 1. Поняття екстремума функцій багатьох змінних
- •§ 2. Деякі відомості з теорії квадратичних форм
- •§ 3. Достатні умови існування екстремуму
- •§ 4. Умовний екстремум
- •Частина III. Розробка електронного посібника “Елементи функціонального аналізу та диференціальне числення функцій багатьох змінних”
- •Програмне середовище підручника
- •Як працювати з підручником?
- •Висновки
- •Часть II.– м.: ”Наука”, 1993. – 448с.
§ 4. Відкриті множини і їх влативості
Нехай Х – метричний простір.
Означення 4.1. Множина метричного простору називається відкритою, якщо кожна її точка є внутрішньою точкою цієї множини.
Весь простір Х – відкрита множина. Порожня множина за означенням є відкритою. Будь-яка куля є відкритою множиною. Покажемо це. Нехай , тобто r. Позначимо через . Якщо , то . Отже . Таким чином кожна точка кулі належить кулі , тобто . Значить кожна точка є внутрішньою точкою.
Нехай Е множина простору Х. Через СЕ будуть позначати доповнення множини Е до простору Х.
Теорема 4.1. Для того, щоб множина G метричного простору Х була відкритою, необхідно і достатньо, щоб доповнення СG цієї множини до простору Х було замкненим.
Доведення. Необхідність. Нехай G – відкрита множина, і гранична точка СG. Покажемо, що . Припустимо, що . Тоді . Так, як G є відкритою множиною, то – внутрішня точка цієї множини, а тому існує окіл цієї точки, який повністю міститься в G і, значить, в ньому нема жодної точки з СG, що суперечить означенню граничної точки. Таким чином . Тобто якщо , то . Множина СG – замкнена.
Достатність. Нехай СG – замкнена і . Внаслідок замкненості СG точка не може бути точкою дотику CG. Значить існує окіл такий, що в ньому немає жодної точки CG, тобто міститься повністю в G. Таким чином кожна точка множини G є внутрішньою точкою цієї множини. Тобто множина G – відкрита.
Теорема 4.2. Переріз скінченної кількості відкритих множин є відкритою множиною.
Теорема 4.3. Об’єднання довільної множини відкритих множин є множина відкрита.
Доведення обох теорем – схожі. Ми доведемо теорему 4.2.
Нехай , де – відкриті множини. Розглянемо доповнення СG множини G до простору Х. . Так як кожна множина відкрита, то доповнення СGі – замкнене. Внаслідок теореми 3.1, множина є замкненою множиною, а множина G внаслідок теореми 4.1, є відкритою множиною.
Зауваження до теореми 4.2. Переріз нескінченної множини відкритих множин може і не бути відкритою множиною. Це видно з наступного прикладу:
.
Розділ 4. Неперервні відображення § 1. Поняття функції
Означення 1.1. Нехай маємо дві множини Х і У. Якщо кожному елементу за певним законом ставиться у відповідність один і тільки один елемент у із множини У, то говорять, що на множині Х задана функція f (або відображення множини Х в множину У).
Записують так: . Якщо у відповідає х, то записують так: . Множина Х називається областю визначення функції f. Множина тих , які приймає функція, називається областю значень функції , – область значень, (не обов’язково ). Якщо , говорять, що функція відображає множину Х на множину У.
Через будемо позначати прообраз множини (це множина А всіх тих х-ів з Х, що ).
§ 2. Границя і неперервність функції
Нехай маємо два метричні простори Х і У. Відстань в просторі Х будемо позначати , в просторі У – 1.
Нехай множина М міститься в Х, , на множині М задана функція , яка відображає множину М в У, гранична точка множини М.
Означення 2.1. Елемент b простору У, називається границею функції f, коли х прямує до , якщо для довільного існує таке, що для будь-якого х із множини М , яке задовольняє умові , виконується нерівність: .
Дане означення евівалентне наступному.
Означення 2.2. Елемент b простору У, називається границею функції f, коли х прямує до , якщо для довільної послідовності вилученої з М, причому , яка збігається до , відповідна послідовність значень функції збігається до b.
Еквівалентність обох означень доводиться як і для дійсних функцій.
Якщо b – границя функції f при х, прямуючому до , то записують так: , іноді пишуть, коли . Якщо , то це геометрично означає, що який би ми окіл точки b не взяли, то знайдеться проколотий окіл точки х0 такий, що якщо х попаде в цей проколотий окіл, то f(x) попадає у вибраний окіл точки b (проколотий окіл точки х0 – це окіл точки х0 з якого вилучено точку х0).
Означення 2.3. Функція f, ,називається неперервною в точці , якщо для довільного , існує , таке, що для всіх х з множини М , які задовільняють умові , визначається нерівність .
Якщо є граничною точкою множини М , то це означення еквівалентне наступному.
Означення 2.4. Функція f називається неперервною в точці , якщо .
Еквівалентність обох означень для цього випадку очевидна.
Означення 2.5. Функція f, яка відображає множину М метричного простору Х в метричний простір У , називається неперервною на множині М, якщо вона неперервна в кожній точці цієї множини.
Означення 2.6. Функція f , , називається рівномірно неперервною на множині М, якщо для довільного , існує таке , що для будь-яких х1 і х2 із множини М, які задовольняють умові , виконується рівність .
Якщо f рівномірно неперервна на М, то вона і неперервна на цій множині. Обернене твердження взагалі невірне.
Теорема 2.1. (Критерій неперервності). Для того, щоб відображення f:XY було неперервним в Х, необхідно і достатньо, щоб прообразом будь-якої відкритої множини простору У була відкрита множина простору Х.
Доведення. Необхідність. Нехай f неперервне відображення і G відкрита множина простору У, f –1(G) прообраз G. Якщо f –1(G) є порожньою множиною, то все зрозуміло, бо порожня множина є відкритою множиною. Нехай f –1(G) і х0 f –1(G). Тоді у0=f(x0) G. Оскільки G відкрита множина, то існує -окіл S(y0;) точки у0, який повністю лежить в G. Так, як відображення f неперервне в точці х0, то існує -окіл цієї точки такий, що для всякого х з цього околу, f(x) належить S(y0,). Отже всі точки -околу точки х0 належать f –1(G), а це означає, що х0 внутрішня точка f –1(G), а f –1(G) є відкритою множиною.
Достатність. Нехай прообразом будь-якої відкритої множини є відкрита множина. Покажемо, що f неперервна функція в G. Нехай х0Х, у0=f(x0)Y. Візьмемо довільний -окіл S(f(x0),) точок f(x0). Оскільки він є відкритою множиною, то його прообразом є відкрита множина, яка містить точку х0. Тому існує -окіл S(x0,) точки х0, який повністю міститься в f –1(G). А це означає, що f є неперервною функцією в точці х0, а отже і в просторі Х. Теорему доведено.