- •Учреждение образования «Высший государственный колледж связи»
- •Теория электросвязи
- •Раздел 1. Основы анализа сигналов.
- •1.1. Основные элементы функционального анализа сигналов. Норма и метрика.
- •1.2 Ортогональные сигналы. Ортонормированный базис. Обобщенный ряд Фурье
- •Раздел 2. Основы спектрального анализа сигналов
- •2.1 Теоремы о спектрах
- •2.3. Спектры модулированных сигналов.
- •2.3.1 Спектры амплитудно модулированных сигналов
- •2.3.2 Спектр сигналов с угловой модуляцией
- •Раздел 3. Аналитический сигнал и преобразования Гильберта
- •3.1 Аналитический сигнал. Основные понятия и определения. Спектр аналитического сигнала.
- •3.2 Преобразования Гильберта и его свойства. Применение пре образования Гильберта.
- •Раздел 4. Основы корреляционного анализа сигналов
- •4.1. Автокорреляционная функция сигналов
- •4.2. Взаимокорреляционная функция двух сигналов
- •Раздел 5. Основные элементы цифровой обработки сигналов
- •5.1. Дискретное преобразование Фурье
- •5.2. Быстрое преобразование Фурье
- •Раздел 6. Математические модели приема сигналов на фоне помех
- •6.1. Стационарные и эргодические случайные процессы.
- •6.2. Спектральное представление стационарных случайных процессов. Теорема Винера-Хинчина
- •Раздел 7. Математические модели приема сигналов на фоне помех (окончание)
- •7.1 Типовые модели случайных сигналов
- •7.2 Узкополосные случайные сигналы
- •Раздел 8. Основные сведения о шумоподобных сигналах
- •8.1 Шумоподобные сигналы и их свойства. Применение шумоподобных сигналов.
- •Раздел 9. Основы теории разделения сигналов
- •9.1 Основные положения линейной теории сигналов.
- •9.2 Структурная схема системы многоканальной передачи информации.
- •Раздел 10. Основные положения теории передачи информации
- •10.1 Информационные характеристики дискретных сообщений и сигналов
- •10.2 Взаимная информация
- •10.3. Информация в непрерывных сигналах. Дифференциальная энтропия.
- •10.4. Пропускная способность канала связи
- •10.5. Информация в непрерывных сообщениях. Эпсилон-энтропия
- •Раздел 11. Принципы оптимальной обработки сигналов на фоне помех
- •11.1. Задача оптимального приёма дискретных сообщений
- •11.2. Элементы теории решений
- •11.3. Критерии оптимизации приёма дискретных сообщений
- •11.4 Алгоритм оптимального приёма при полностью известных сигналах. (Когерентный приём)
- •Раздел 12. Принципы оптимальной обработки сигналов на фоне помех (продолжение)
- •16.5 Реализация алгоритма оптимального приема на основе корреляторов
- •12.2 Реализация алгоритма оптимального приёма на основе согласованных фильтров. Свойства согласованного фильтра
- •12.3 Потенциальная помехоустойчивость систем с различными видами манипуляции
- •Раздел 13. Принципы оптимальной обработки сигналов на фоне помех (окончание)
- •13.1 Оптимальный прием дискретных сообщений с неопределенной фазой (Некогерентный прием).
- •13.2 Помехоустойчивость систем с различными видами дискретной модуляции при некогерентном приеме
- •13.3 Прием дискретных сообщений в каналах с замираниями
- •Раздел 14. Основы цифровой обработки сигналов
- •14.1 Основные принципы цифровой фильтрации. Характеристики и свойства цифровых фильтров.
- •14.2 Алгоритм линейной цифровой фильтрации.
- •Тема 15. Основы цифровой обработки сигналов (окончание)
- •15.1 Трансверсальные цифровые фильтры.
- •15.2 Рекурсивные цф. Устойчивость цифровых фильтров
- •Раздел 16. Введение в вейвлет-преобразования сигналов
- •16.1 Понятие вейвлет-преобразования. Основные вейвлеты, применяемые в системах связи.
- •16.2 Дискретный вейвлет-анализ.
- •16.3 Непрерывное вейвлет-преобразование
- •Содержание.
11.3. Критерии оптимизации приёма дискретных сообщений
I.Критерий идеального наблюдателя, или критерий Котельникова
Это критерий, по которому качество приёмника оценивают безусловной вероятностью правильного приёма сигнала.
Пусть на вход приёмника в течение тактового интервала 0-Т приходит некоторый элемент сигнала Z(t). Предположим, что приёмник принимает при этом решение, что передан символ . Вероятность того, это решение правильно, очевидно, равна условной вероятности того, что действительно передавался символпри условии прихода реализации элемента сигналаZ(t), . Её называют обычно апостериорной вероятностью символа(то есть вероятностью, определённой после опыта, заключающегося в наблюдении и анализе сигналаZ(t).)
Очевидно, что вероятность правильного приёма будет максимальной в такой решающей схеме, для которой апостериорная вероятность максимальна. Другими словами, критерий идеального наблюдателя обеспечивается решающей схемой, построенной по правилу максимума апостериорной вероятности – решение опринимается в том случае, если выполняется система изm-1 неравенств:
(11.3)
Согласно известной формуле Бейеса для :
(11.4)
где –n-мерная плотность вероятности вектора Z, – априорная вероятность передачи символа(то есть та вероятность, которая имеет место до наблюдения и анализа, определяемая статистикой источника сообщения и правилом кодирования).
Подставив (11.4) в (11.3) и учитывая, что – безусловная плотность вероятности, не являющаяся функциейi, можно записать правила решения для идеального наблюдателя в следующей форме:
, (11.5)
где – функция правдоподобияi-той гипотезы
Для построения решающей схемы по правилу (11.5) необходимо знать априорные вероятности символов , определяемые источником, а также свойства модулятора и канала, определяющие условные плотности вероятности.– функции правдоподобия.
Недостатком критерия максимума апостериорной вероятности является тот факт, что он обеспечивает большую вероятность правильного приёма за счёт сокращения области маловероятных и расширения области приёма высоковероятных символов; в результате редко передаваемые символы передавались бы менее надёжно, а они несут больше информации.
II. Правило (11.5) можно записать иначе - решение о том, что передавался символ , должно приниматься, если для всехвыполняетсяm-1 неравенств:
(11.6)
Отношение в левой части этого неравенства называется отношением правдоподобия двух гипотез о том, что передавался символ . Его обозначают.
Для двоичной системы правило сводится к проверке
(11.7)
Во многих случаях различные ошибки приводят к различным последствиям.
III. Учёт последствий ошибок различного рода (связанных с передачей различных символов приводит к обобщению критерия идеального наблюдателя, известного под названием критерия минимального среднего риска (или байесовского критерия). Если при передаче символа принят символ, то приимеет место ошибка.
Чтобы учесть неравноценность различных ошибок, будем с каждой парой символов исвязывать некоторую численную величину, называемую «потерей», обозначив еёLij. Величина «потери» зависит от того какой символ принят вместо переданного. Правильному приёму при этом приписывается нулевая потеря.
Так как при передаче символа символпоявляется с определёнными вероятностями как реализации некоторой дискретной случайной величины, можно говорить об условном математическом ожидании величины «потери» при передаче конкретного символа. Назовём это условное математическое ожидание условным риском:
(11.8)
Интервал берётся по области решающей схемы и представляет вероятность того, что сигналZ(t) попал в эту область, если передавался символ . Усреднив условный рискпо всем символам, получим величину, называемую средним риском:
(11.9)
Критерий минимального среднего риска заключается в том, что оптимальной считается решающая схема, обеспечивающая наименьшее значение среднего риска . Приёмник, работающий по такому критерию называется байесовским. Из (11.9) видно, что при использовании этого критерия нужно помимо априорных вероятностейпередачи отдельных символов знать и величины потерьLij. Заметим, что если считать все ошибки равноценными (), то критерий минимального среднего риска совпадает с критерием идеального наблюдателя, а байесовский приёмник совпадает с идеальным приёмником Котельникова.
IV Ситуация, в которой практически невозможно определить априорную вероятность передачи отдельных элементарных сообщений, а последствия ошибок разного рода неодинаковы, особенно типична для радиолокации, когда приёмник, анализируя принимаемое колебание Z(t) (отражённый сигнал плюс помеха), должен определить, имеется в данном направлении и на данном расстоянии объект наблюдения (цель) или нет. Последствия двух родов ошибок ложной тревоги и пропуска цели – неравноценны.
В этой и других сходных ситуациях чаще всего пользуются критерием приёма, известным под названием критерия Неймана Пирсона. Суть его заключается в том, что решающая схема считается оптимальной, если при заданной вероятности ложной тревоги обеспечивается минимальная вероятность пропуска цели.
Введём в рассмотрение функции правдоподобия гипотезы об отсутствии цели w(Z/0) и о наличии цели w(Z/1).
Минимизация при заданной величинедостигается, если решение о наличии цели принимается при выполнении неравенства.
(11.10)
Где – пороговый уровень, определяемый заданной вероятностью ложной тревоги
В технике связи преимущественно применяют правило максимального правдоподобия. В том случае, когда все символы передаются равновероятно, правило максимального правдоподобия переходит в критерий идеального наблюдателя. Часто это правило решения применяют и при неизвестных или известных но не одинаковых априорных вероятностях символов. Правило максимального правдоподобия переходит в критерий минимума среднего риска, если положить .
Существуют так же и другие критерии, например, критерий взвешенной вероятности ошибки, минимаксный критерий, при котором коэффициент потерь считается заданным и другие.
Выбор того или иного варианта критерия оптимальности называют стратегией. Стратегия определяется исходными данными при проектировании. Наиболее простая стратегия соответствует критерию максимального правдоподобия. Рассматриваемые задачи в статистической теории связи классифицируются как задачи распознавания и задачи обнаружения сигнала. Например, при амплитудной телеграфии (АТ) – передача с «пассивной паузой» - приёмное устройство выполняет функции обнаружителя. (Термин «обнаружение» первоначально возник в радиолокации). В случае частотной или фазовой телеграфии (ЧТ или ФТ) приёмное устройство работает по принципу распознавания.