Задание линейных кодов с помощью порождающих и проверочных матриц

Линейные коды задаются с помощью порождающей G(x)и проверочнойH(x)матриц. Эти матрицы связаны основным уравнением кодирования:

G(x)H(x)^T=0.

Матрица G(x)содержитkстрок иnстолбцов, ее элементами являются нули и единицы. В качестве строк матрицыG(x)выбираются любые ненулевые линейно независимыеn-значные векторы, отстоящие друг от друга не менее чем на заданное кодовое расстояниеd₀.

Векторы v₁,v₂, …,v_kназываютсялинейно независимыми, если выполняется условие

c₁ v₁ + c₂ v₂ +…+c_k v_k = 0,

где с_i={0, 1}, а сложение выполняется по модулю два. То есть, каким бы образом мы не суммировали различные строки матрицыG(x), не получим суммы, равной нулю. Все множество кодовых слов состоит из строк порождающей матрицы и всевозможных комбинаций этих строк, т.е. суммы по модулю два всех строк матрицыG(x)сначала попарно, затем по три и так далее до суммы всехkстрок.

С точки зрения алгебры все кодовые слова образуют некоторое векторное пространство, базисом которого являются строки матрицы G(x).

Поскольку линейно независимые векторы могут быть выбраны произвольным образом, то, очевидно, можно построить множество матриц G(x)с одним и тем же кодовым расстояниемd₀.

Свойство линейной независимости векторов инвариантно относительно двух следующих операций (выполняя эти две операции, кодовое расстояние не меняется):

1. возможна произвольная перестановка строк и столбцов в матрице G(x);

2. замена i-й строки на суммуi-й иj-й строк и т. д. (эту операцию нельзя осуществлять со столбцами матрицыG(x)).

Производя вышеуказанные операции, любую произвольную матрицу G(x)можно привести к так называемомуприведенно-ступенчатому(каноническому)виду:

n

k, (1)

где I_k – единичная подматрица размерностьюk×k,

H^*T – транспонированная проверочная матрица (транспонировать – значит поменять местами строки и столбцы).

Исходя из основного уравнения кодирования, проверочная матрица имеет вид

l

(2)

n

Пример:

Возьмем порождающую матрицу кода (7,4). В этой матрице количество строк равно 4 (k=4), а количество столбцов 7(n=7).

1 0 0 0 1 0 1

G(x)=0 1 0 0 1 1 1

0 0 1 0 1 1 0

0 0 0 1 0 1 1

Для того чтобы построить проверочную матрицу, необходимо транспонировать подматрицу G(x)^*и к ней приписать единичную матрицу размеромl×l. Проверочная матрица будет иметь размерl×n,l =n-k=7-4=3, т.е. матрица Н(x) имеет размер 3×7.

1 1 1 0 1 0 0

H(x)=0 1 1 1 0 1 0

1 1 0 1 0 0 1

Кодирование информации линейным блоковым кодом

Операция кодирования информации линейным кодом заключается в умножении информационного вектора A_kразмерностьюkна порождающую матрицуG(x); в результате получаем вектор

F(x)=A_k(x)G(x).

Кодовую последовательность на выходе кодера можно записать в виде:

где a₁a₂a₃...а_k- информационные символы (логические 1 и 0),

b₁b₂b₃...b₁- проверочные символы (логические 1 и 0).

Проверочные символы b₁b₂b₃...b_lформируются путем суммирования по модулю два информационных символов, стоящих на определенных позициях.

Алгоритм формирования проверочных символов в общем виде можно записать так:

где c_j1c_j2...c_jk- коэффициенты принимающие значение логических 1 и 0.

Пример:A_k(x)=1010

1 0 0 0 1 0 1

G(x)=0 1 0 0 1 1 1

0 0 1 0 1 1 0

0 0 0 1 0 1 1

1 0 0 0 1 0 1

Следовательно, F(x)=A_k(x)G(x)=[1010]* 0 1 0 0 1 1 1 = [1010 011]

0 0 1 0 1 1 0

0 0 0 1 0 1 1

Рассмотрим построение и реализацию устройства кодирования ЛБК (7,4).

Порождающая и проверочная матрицы этого кода имеют вид:

а₁а₂а₃а₄ b₁b₂b₃

1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0

G(x)=0 1 0 0 1 1 1 H(x)=0 1 1 1 0 1 0

0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1

0 0 0 1 0 1 1

Этот код имеет d=3 и исправляет все одиночные ошибки и обнаруживает двойные. Символы а₁,а₂,а₃,а₄ – информационные символы, b₁,b₂,b₃ – проверочные.

По матрице запишем проверочные уравнения:

b₁= a₁a₂a₃

b₂= a₂a₃a₄

b₃= a₁a₂a₄

Таким образом, кодер состоит из (n-k)=7-4=3 сумматоров по модулю два, выходы которых соответствуют (n-k) проверочным символам.

Устройство кодирования линейного группового кода (7, 4) приведено на рисунке.

Рисунок – Кодер линейного группового кода (6, 3)

Пусть подается сообщение (а₁,а₂,а₃,а₄)=1001. Тогда слово, передаваемое в канал связи, имеет вид (1001 110).