Задание систематических сверточных кодов

Систематические СК задаются:

1. с помощью порождающей матрицы – G_(х);

2. с помощью проверочной матрицы – H_(х);

3. с помощью разностных треугольников;

4. с использованием совершенных разностных множеств.

I. Задание систематических ск с помощью порождающей матрицы g(х)

Порождающая матрица систематического СК имеет более сложное построение, чем у группового кода. Это определяется из-за полубесконечной структуры порождающей матрицы СК, имеющей вид:

где "0" - области матрицы, состоящие полностью из нулевых двоичных символов,

т - количество порождающих матриц вида

где – коэффициенты равны либо 1, либо 0.

Систематический ССК задаются следующей порождающей матрицей G_(х):

II. Задание систематических ск с помощью проверочной матрицы h(х)

Проверочная матрица Н_(х)СК, как и порождающая матрица, является полубес­ко­нечной:

- совокупность проверочных подматриц, имеющих форму треугольника.

Порождающая и проверочная матрицы СК, как и у линейных кодов, связаны выражением: G_(х)H^T_(х)= H_(х)G^T_(х) =0.

Для систематического ССК с алгоритмом порогового декодирования проверочная матрица H_ задается следующим образом:

(n₀-k₀) строк

Из данной проверочной матрицы следует, что для ССК с проверочная матрицаН(х) содержит (n₀–k₀) строк и k₀ столбцов проверочных треугольников. Для ССК с ,n₀= 2;3; …, проверочная матрица Н(х)содержит k₀=1, т.е. один столбец и n₀ строк проверочных треугольников.

Каждый из проверочных треугольников Н^_i,_k0+i, i=1,2, …; k₀=1,2, …, проверочной матрицы Н_ (х) общем случае имеет вид:

,

где q – коэффициенты, равные либо 1, либо 0; j, i – номера соответственно строки и столбца матрицы Н_(х), которыми определяется проверочный треугольник; 0, …m – порядковые номера степеней, в которые возводятся соответствующие коэффициенты порождающего полинома.

Основную информацию о самоортогональных сверточных кодах ССК несут коэффициенты левого столбца и нижней строки проверочного треугольника.

Пример: задан проверочный треугольник:

По данному проверочному треугольнику можно определить параметры ССК с алгоритмом ПД:

1. Поскольку задан один проверочный треугольник, то k₀=1, n₀=k₀+1=2,. r=( n₀-k₀)/n₀100%=(1-R)100%=50%.

2. Так как k₀=1, то ССК задается одним порождающим полиномом, определяемым коэффициентами левого столбца и нижней строки проверочного треугольника.

g(x)=1+x²+x⁶+x⁷

3. Количество ненулевых членов порождающего полинома определяет число проверочных уравнений: J=4. Следовательно, ССК может исправлять ошибки и обнаруживатьошибки.

d₀=J+1=4+1=5

4. Строки проверочного треугольника, которые начинаются с ненулевых двоичных символов, формируют проверочные уравнения, размеры данных проверок и номера позиций информационных и проверочных символов, участвующих в формировании проверочных уравнений. Размеры проверок в проверочном треугольнике обозначены цифрами перед стрелками и определяются количеством ненулевых символов в строке. Для данного примера имеем:

s₀=е₀ⁱ+e₀^p (i– информационный символ, р – проверочный)

s₂=е₀ⁱ+e₂ⁱ+e₂^p

s₆=е₀ⁱ+e₄ⁱ+e₆ⁱ+e₆^p

s₇=е₀ⁱ+e₁ⁱ+e₅ⁱ+e₇ⁱ+e₇^p

5. Длина кодового ограничения n_A и эффективная длина кодового ограничения n_e СК равны, соответственно,

n_A=(m+1)n₀=(7+1)2=16 двоичных символов;

=8+2+1=11 двоичных символов.

На практике наибольшее применение получили два способа построения проверочных треугольников:

• с помощью разностных треугольников

• с помощью совершенных разностных множеств.