4.6 Политропный процесс

Все рассмотренные выше процессы имели особенность: в каждом из них на какую-либо из величин накладывалось ограничение (р = const, t = const,

dq =0). Поэтому процессы могут считаться частными случаями изменения состояния газа.

Кроме этого, следствием данных ограничений является то, что подводимое или отводимое тепло q распределяется между

и

таким образом, что

принимает определенное значение.

Однако очевидно, что могут иметь место процессы, в которых нет этих ограничений и z может принимать другие значения. Единственным ограничением для таких процессов будет постоянство z, т.е. и постоянство теплоемкости (т.к.

=с_v

, q = с

).

Для нахождения вида уравнения политропы необходимо решить дифференциальное уравнение первого закона термодинамики dq = du + pdv.

Из определения понятия теплоемкости dq = сdT, где с – теплоемкость данного политропного процесса.

Известно, что du = с_vdT. Тогда

сdT = с_vdT + pdv или (с_v – с)dT + pdv = 0. (60)

Выразим из уравнения Клапейрона

и подставим значение Т в (60)

(61)

После дифференцирования получим

, или

. (62)

Разделив на

и с учетом равенства с_v+R =с_p получим:

. (63)

Введем обозначение

и последнее уравнение примет вид

. (64)

Интегрируя его при n = const, получим уравнение политропы

pvⁿ = const. (65)

Как было отмечено выше, показатель n принимает для каждого процесса определенное значение.

Поскольку уравнение политропы не отличается по виду от уравнения адиабаты, то все соотношения между основными параметрами представляются формулами, аналогичными адиабатному процессу

(66)

То же можно сказать о выражениях для определения работы политропного процесса

и т.д. (67)

4.7 Теплоемкость политропного процесса

Количество тепла в политропном процессе q = с(T₂ – T₁). По первому закону термодинамики q = с(T₂ – T₁) = с_v(T₂ – T₁) +

. Тогда

. Учитывая, что R = с_p- с_v = с_v(k-1), получим

. (68)

Легко получить с из введенного в предыдущем обозначения

, отсюда с(n-1)+с_p – nс_v= 0 и

(подставив с_р=kc_v). (68)

4.8 Определение численного значения показателя n

Известно несколько методов определения численного значения n:

1. Метод логарифмирования;

2. Метод планиметрирования;

3. По углу наклона графика процесса в логарифмической системе координат;

4. Метод экспериментальных формул.

5. Метод касательных.

Метод логарифмирования применяется в том случае, если заданы пара-

метры двух различных состояний одного политропного процесса. Из уравнения процесса pvⁿ=const справедливо равенство p₁v₁ⁿ = p₂v₂ⁿ.

После логарифмирования получим ln p₁ +n ln v₁ = ln p₂ +n ln v₂, откуда

n(ln v₁ – ln v₂) = ln p₂ – ln p₁. Отсюда

. (69)

Метод планиметрирования (так же как и метод касательных) применяется в том случае, если процесс задан графически (например, при определении показателей политропы по участкам индикаторных программ ДВС).

= пл. а12b =

, обозначим через F₁, а площадь с12d обозначим F₂ (рис. 13). Тогда F₂= F₁ + пл. 0с1а – Рис. 13

пл. d21c =

(70)

Таким образом, F₂ = n F₁, откуда

.

Площади F₁ и F₂ на практике определяются при помощи планиметра, либо прозрачной миллиметровой бумаги.

С целью определения n по углу наклона графика процесса в логарифмической системе координат необходимо уметь изображать политропные процессы в логарифмической системе координат (рис.14).

Известно, что логарифмическая

Рис. 14

кривая превращается в прямую в этой системе координат. Тогда уравнение вида pvⁿ = const в системе координат ln p - ln v превратится в прямую. tg α может быть выражен как отношение

tg α =

(71)

Таким образом, tg угла наклона политропного процесса к оси абсцисс

в логарифмической системе координат представляет собой численное значение n данного процесса.

Если это так, легко построить в логарифмической системе координат следующие процессы:

изохорный, у которого n =

. Тогда tg

,

= 90^о; изобарный процесс, у которого n = 0, tg

,

= 0^o; изотермный процесс n =1 tg

,

= 45^o; адиабатный процесс n = 1,41, tg

,41,

= 54^o40′.

Рис. 15 Метод касательных применяется реже, а метод экспериментальных формул в настоящее время устарел и пользоваться им не стоит (например, n = 1,41 −

для расширения, n = 1,22 +

(для сжатия, где m – частота вращения вала двигателя, об/мин).