2. Знаходження коренів рівняння

Різноманітні технічні, економічні проблеми приводять до питання знаходження коренів полінома високих ступенів. Для рівнянь вище 5-го ступеня не існує формул для точного виразу коренів полінома. Однак на практиці достатньо знайти наближені значення коренів з певною точністю.

Розглянемо знаходження коренів алгебраїчного рівняння f(x)=0 в заданому діапазоні значень .

Рівняння називається алгебраїчним, якщо задана функція є поліномом n-го ступеня:

(1)

Якщо при певному виконується рівність , тоx₀ називається коренем багаточлена f(x).

Число дійсних коренів алгебраїчного рівняння з дійсними коефіцієнтами дорівнює або на парне число менше за ступінь рівняння.

За теоремою Декарта число додатних коренів дорівнює (або на парне число менше) числу змін знаку в ряду коефіцієнтів рівняння.

Число від’ємних коренів можна оцінити, зробивши заміну . Якщо в рівнянні (1)a₀>0 (це можна зробити завжди, якщо змінити знак на протилежний в лівій частині рівняння), то його дійсні корені задовольняють нерівності:

, (2)

де m – індекс першого від’ємного коефіцієнту в ряду , якщо таких коефіцієнтів немає, багаточлен не має додатних коренів);A – максимальний з модулів від’ємних коефіцієнтів.

Ця ж оцінка дозволяє встановити і нижню границю коренів.

Для цього слід зробити заміну та помножити отримане рівняння на, щоб старший коефіцієнт залишився додатнім, після чого скористатись формулою (2).

Приклад 1. Дослідимо рівняння

Це рівняння має непарне число дійсних коренів, але не більше п’яти. Число змін знаку в ряду його коефіцієнтів дорівнює чотирьом, тоді згідно теореми Декарта додатних коренів може бути чотири, два або жодного.

Для визначення кількості від’ємних коренів зробимо заміну x = –y і помножимо отримане рівняння на , для того, щоб старший коефіцієнт залишився додатнім

Кількість змін знаку в ряду його членів дорівнює одиниці, тому згідно теореми Декарта від’ємних коренів може бути один або жодного.

Тепер визначимо інтервал розташування коренів.

З першого рівняння виходить, що індекс першого від’ємного коефіцієнта дорівнює 1, максимальний модуль від’ємних коефіцієнтів дорівнює 7 і за формулою (2) отримуємо:

.

З другого рівняння виходить, що індекс першого від’ємного коефіцієнта дорівнює 4, максимальний модуль від’ємного коефіцієнта дорівнює 3, таким чином за формулою (2) отримуємо:

, .

Таким чином корені вихідного рівняння лежать в інтервалі: .

Результати отриманих досліджень легко перевірити, побудувавши графік полінома.

Для знаходження коренів потрібно їх локалізувати, тобто знайти інтервали, на яких ці корені існують. Такими інтервалами можуть бути проміжки, на кінцях яких функція має протилежні знаки. Точне значення коренів можна обчислити, використавши в Excel засіб Сервис, Подбор параметра.

Розв’язання цього рівняння за допомогою Excel представлене на рис. 32. На графіку видно, що у полінома є три кореня: один від’ємний і два додатних. Виділяємо жовтою заливкою наближені значення коренів. Для уточнення виносимо значення х і у окремо. При цьому для значення х копіюємо тільки значення, а для значення у виконуємо копіювання.

Для уточнення коренів використовується інструмент Подбор параметра. Спочатку обираємо клітинку G19, в діалоговому вікні Подбор параметра в полі Установить значение: вводимо 0, а в полі Изменяя значение ячейки: вводимо адресу F19. Значення знайденого кореня дорівнює -0,5574.

Аналогічно обчислюємо решту коренів рівняння. Вони дорівнюють -0,77725 і 0,72911.

Значення у дорівнюють відповідно і представлені у стандартному експоненціальному (Scientific) форматі MS Excel (рис. 32).

Рис. 32. Вирішення рівняння .