2. Чисельне диференціювання

Залежність однієї величини від іншої часто представлена набором експериментальних даних, при цьому аналітичний вигляд цієї залежності невідомий. Похідні від функцій, що описують цю залежність, наближено обчислюють за допомогою методу кінцевих різниць, що використовується як для чисельного диференціювання, так і як перший крок під час інтегрування диференційних рівнянь.

Геометричний сенс похідної. Якщо в певній точці провести дотичну до графіка функції, то кутовий коефіцієнт цієї дотичної буде дорівнювати похідній, обчисленій від функції у даній точці.

В таких випадках величину кутового коефіцієнта оцінюють як відношення різниць ординат сусідніх точок до різниці їх абсцис:. Знак приблизної рівності нагадує про те, що у відношенні використовуються кінцеві різниці, для отримання точного рішення слід спрямувати до нуля.

Якщо потрібно знайти похідну у певній точці, то для знаходження сусідню точку можна обрати кількома способами: обравши точку ліворуч, отримаємо наближене значення похідної методом лівих кінцевих різниць, праворуч – правих кінцевих різниць, обравши дві точки по обидві сторони від заданої точки, використаємо метод центральних різниць.

Наближення першої похідної виразами у кінцевих різницях

Наближення лівими кінцевими різницями:

Наближення центральними кінцевими різницями:

Наближення правими кінцевими різницями:

Наближення другої похідної виразами у кінцевих різницях

Наближення лівими кінцевими різницями:

Наближення центральними кінцевими різницями:

Наближення правими кінцевими різницями:

Неточності, що вносяться у метод кінцевих різниць похибками обчислень та помилками вимірів

Вирази у кінцевих різницях є наближеннями похідних, тому обчислені величини містять певну похибку, для зменшення якої потрібно використовувати дані з маленьким кроком .

Наближення за допомогою центральних різниць дає більш точний результат, ніж наближення за допомогою лівих або правих різниць, тому для поточних обчислень краще використовувати вираз у центральних різницях. Виключення становлять ситуації, наприклад, обчислення похідної для крайньої лівої точки, коли єдиним можливим є метод правих різниць, або крайньої правої, коли використовується метод лівих різниць. Крім того, ліві кінцеві різниці використовуються у задачах о розповсюдженні хвиль, коли відсутня інформація з тих ділянок, куди хвиля ще не дійшла.

Експериментальні помилки можуть значно погіршити результати, отримані за допомогою метода кінцевих різниць. Оцінюючи по неточним даним похідну методом кінцевих різниць, правильний результат отримати неможливо. Якщо доводиться працювати з даними, у яких велика доля помилок, можна скористатися такими можливостями: спробувати відсіяти шум у даних або виконати апроксимацію даних за допомогою аналітичної залежності і обчислити похідну від отриманої функції.

Відсіювання шуму

Електронні таблиці MS Excel надають можливість скористатися методом ковзаючого середнього за допомогою пакета Анализ данных або шляхом нанесення на діаграму лінії тренда.

Метод лінійної фільтрації або метод ковзаючого середнього, що реалізується через додавання до діаграми лінії тренда не дає можливості вивести на робочий лист чисельні результати, на відміну від пакета Анализ данных.

При побудові у MS Excel лінії тренда методом лінійної фільтрації середнє по N точках значення відображається на правій границі інтервалу, по якому знаходиться середнє. Таким чином, у методі лінійної фільтрації згладжена крива переміщується на N точок праворуч у порівнянні з даними. Якщо значення N мале, це може залишитися непомітним.

На рис. 34 наведений графік функції , до якого доданий випадковий шум. До діаграми додана лінія тренда, побудована методом лінійної фільтрації. Кількість точок, по яких знаходиться середнє,N=5. Зміщення лінії тренда відносно множини точок даних непомітно. Для N=20 лінія тренда вже помітно переміщена праворуч від масиву точок вихідних даних.

Рис. 34. Відсіювання шуму методом лінійної фільтрації.

Приклад 1. За допомогою прибору для визначення теплопровідності металів проведені виміри температури для п’яти термопар, відповідно 348К, 387К, 425К, 464К, 503К, відстань між термопарами 0,05м. Теплопровідність визначається із закону Фур’є: , де j = 318000Вт/м² – модуль вектору щільності теплового потоку, – похідна від температури пох. Для знаходження координати х у клітинці В2 введена формула =$G$1*(A2-1) і скопійована на весь стовпець. Оцінка похідної виконується за допомогою метода кінцевих різниць: для першої термопари (клітинка D2) – методом правих кінцевих різниць =(C3-C2)/(B3-B2), для останньої (D6) – методом лівих кінцевих різниць =(C6-C5)/(B6-B5), для інших термопар використаний метод центральних кінцевих різниць D3: =(C4-C2)/(B4-B2) (див. рис. 35).

Теплопровідність знайдена, як відношення модуля вектора щільності теплового потоку до похідної від температури по х.

Кінцевий результат – середнє значення теплопровідності 410 .

Рис. 35. Знаходження теплопровідності за допомогою оцінювання

похідної від температури по х методом кінцевих різниць.

Знайдемо похідну від температури за допомогою лінії тренда. Графік залежності температури від положення термопари показаний на рис. 36. Додаємо до нього лінію тренда максимальної достовірності – це лінія тренда, побудована за допомогою лінійної апроксимації, її достовірність (квадрат коефіцієнта кореляції) дорівнює одиниці (див. рис. 36). Знайшовши похідну по х від рівняння лінії тренда , отримуємо значення, звідки теплопровідність дорівнює 410,85.

Рис. 36. Знаходження теплопровідності за допомогою диференціювання рівняння максимально достовірної лінії тренда.