2. Чисельне інтегрування

Розглянемо функцію , графік якої наведений на рис. 37. Площа, зафарбованої на рис. 37 ділянки між кривою і віссюх є фізичним представленням інтеграла . Обчисливши чисельним методом цю площу, можна знайти інтеграл функції.

В деяких випадках ділянка, площу якої потрібно знайти, обмежена знизу не віссю х, а іншою кривою. Наприклад, площу S зафарбованої темним кольором ділянки на рис. 37 можна знайти так: спочатку обчислити площу між графіком функції і віссюх, далі відняти від неї площу між графіком функції і віссюх.

Математичний вираз для площі S можна записати так: .

Рис. 37. Фізичне представлення інтеграла функції.

Методи чисельного інтегрування

Розглянемо методи чисельного інтегрування на прикладі функції для порівняння з результатом аналітичного інтегрування функції.

Обчислення інтеграла методом розбиття на прямокутники

Площу під графіком функції (рис. 38) наближено можна обчислити, як суму площ прямокутників.

Лівостороннє наближення: ширина прямокутників обчислюється як крок пох, висота кожного прямокутника приймається як значення функції на лівому краї інтервалу. Формула для обчислення площі першого прямокутникавводиться в клітинкуC3 і має вигляд =B3*(A4-A3). Кількість інтервалів на одиницю менше кількості даних. Сума площин прямокутників, значення яких вміщуються в діапазоні клітинок С3:С102 дає приблизну оцінку площі під кривою. Отримане значення площі 1,00783342 (клітинка С104 рис. 38) більше істинної на 0,7833%. Таке точне значення отримане завдяки великій кількості точок на інтервалі: 101.

Правостороннє наближення: ширина прямокутників обчислюється як крок пох, висота кожного прямокутника приймається як значення функції на правому краї інтервалу. Формула для обчислення площі першого прямокутникавводиться в клітинкуD4 і має вигляд =B4*(A4-A3). Кількість інтервалів на одиницю менше кількості даних. Сума площин прямокутників, значення яких вміщуються в діапазоні клітинок D4:D103 дає приблизну оцінку площі під кривою. Отримане значення площі 0,992125457 (клітинка D104 рис. 38) менше істинної на 0,7874%.

Можливо отримати більш точне значення площі, знайшовши середнє арифметичне результатів лівостороннього і правостороннього наближення методом прямокутників 0,999979438. Таке усереднення еквівалентне використанню метода трапецій.

Обчислення інтеграла методом розбиття на трапеції

Площу під графіком функції (рис. 38) наближено можна обчислити, як суму площ трапецій. Якщо позначити ліву і праву границі одного з інтервалів розбиття черезівідповідно, а значення функції на границях черезі, то площа трапеції виражається формулою:. Формула, введена в клітинкуЕ3 має вигляд: =0,5*(B3+B4)*(A4-A3). Сума площин трапецій, значення яких вміщуються в діапазоні клітинок Е3:Е102 дає приблизну оцінку площі під кривою. Отримане значення площі 0,99997944 (клітинка Е104 рис. 38) менше істинної на 0,002%.

Обчислення інтеграла методом Сімпсона

Метод Сімпсона можна використовувати за умови, що кількість точок непарна і інтервал між точками по осі х незмінний: =const. Крок інтегрування у методі Сімпсона дорівнює двом крокам по осі х. Якщо позначити інтервал між точками по осі х як , значення функції на границях і в центрі інтервалу інтегрування2позначити через,і, то площа на одному кроці інтегрування виражається формулою:. Оскільки крок інтегрування вдвічі більший за крок пох, формулу потрібно вводити через одну клітинку у стовпці F. Формула Сімпсона в клітинці F3 (див. рис. 38) має вигляд: =(A4-A3)*(B3+4*B4+B5)/3. Сума площин, значення яких вміщуються в діапазоні клітинок F3:Е101 дає приблизну оцінку площі під кривою. Отримане значення площі дорівнює одиниці з точністю до дев’ятого знака після коми (клітинка F104 рис. 38).

Рис. 38. Обчислення інтеграла функції

методами прямокутників і трапецій, а також методом Сімпсона.