- •1. Побудова плоских кривих
- •Графіки деяких кривих
- •Внутрішня , середняі зовнішня.
- •Приклад побудови астроїди наведено на рис.2.
- •Логарифмічна спіраль - крива на площині (див. Рис. 16), що описується у полярних координатах рівнянням:
- •Приклади алгебраїчних кривих третього порядку
- •Завдання для виконання практичної роботи №1
- •Побудова поверхонь
- •Завдання для виконання практичної роботи №2
- •Робота з масивами і матрицями
- •Завдання для виконання практичної роботи №3
- •Знаходження коренів рівняння
- •Завдання для виконання практичної роботи №4
- •Аналіз тенденцій
- •Завдання для виконання практичної роботи №5
- •Чисельне диференціювання
- •Завдання для виконання практичної роботи №6
- •Вихідні дані для виконання практичної роботи №6
- •Чисельне інтегрування
- •Завдання для виконання практичної роботи №7
- •Вихідні дані для виконання практичної роботи №7
- •Чисельне рішення задачі Коши для звичайного диференційного рівняння першого порядку
- •Завдання для виконання практичної роботи №8
- •Чисельне рішення задачі Коши для диференційного рівняння другого порядку
- •Завдання для виконання практичної роботи №9
Приклад побудови астроїди наведено на рис.2.
Гіпоциклоїда – крива на площині, що описується точкою кола, яка котиться внутрішньою стороною кола.
Гіпоциклоїда для меншого кола з радіусом r=1,0 і більшого кола з радіусом R=3,0:
Рис. 11. Побудова гіпоциклоїди.
Для даної гіпоциклоїди k=R/r=3.
Параметричні рівняння гіпоциклоїди: де
- радіус нерухомого кола; - радіус кола, що котиться.
Модуль величини визначає форму гіпоциклоїди. Пригіпоциклоїда являє собою діаметр нерухомого кола, приєастроїдою.
k=3 |
k=4 |
k=5 |
k=6 |
k=2,1 |
k=3,8 |
k=5,5 |
k=7,2 |
Рис. 12. Приклади гіпоциклоїд.
Циклоїда – трансцендентна крива на площині, що описується параметричними рівняннями: Являє собоютраєкторію точки кола радіуса r, що котиться по прямій (по горизонтальній осі координат - див. рис. 13). Графік циклоїди для показаний на рис. 14.
Рис. 13. Побудова циклоїди.
Рис. 14. Графік циклоїди
Епіциклоїда – крива на площині, створена точкою кола, що котиться по іншому колу. Епіциклоїда описується параметричними рівняннями:
x = (R + mR)cos(mt) − mcos(t + mt),
y = (R + mR)sin(mt) − msin(t + mt),
де ;R - радіус нерухомого кола; r - радіус кола, що котиться. При m= 1 епіциклоїда утворює кардіоїду.
Модуль величини m визначає форму епіциклоїди. На рисунку 15 показані епіциклоїди при m = 1 / 10, m = 1 / 3 и m = 2 / 3.
Рис. 15. Приклади епіциклоїд.
Логарифмічна спіраль - крива на площині (див. Рис. 16), що описується у полярних координатах рівнянням:
Трипелюсткова троянда - крива на площині, що описується у полярних координатах рівнянням: або(див. рис. 17).
Дванадцятипелюсткова троянда - крива на площині, що описується у полярних координатах рівнянням: або(див. рис. 18).
Рис. 16. Графік логарифмічної спіралі
Рис. 17. Графік трипелюсткової троянди та.
Рис. 18. Графік дванадцятипелюсткової троянди та.
Лемніската Бернуллі описується у полярних координатах рівнянням
Рис. 19. Графік лемніскати Бернуллі
Гіперболічний синус описується у декартових координатах рівнянням .
Рис. 20. Графік гіперболічного косинусу .
Побудова гіперболічного косинусу показана на рис. 1.
Капа - крива на площині, що описується у полярних координатах рівнянням . Побудова капи дляпоказана на рис. 21.
Рис. 21. Графік капи .
Приклади алгебраїчних кривих третього порядку
1. Декартів лист x3 + y3 – 3axy = 0, a = 2 або . |
2. Парабола Нейля |y| = –cx3/2, c = –2. |
3. Строфоїда або
|
4. Циссоїда Диоклеса або
|
Приклади алгебраїчних кривих четвертого і більш високих порядків
| |
5. Кардіоїда (x2 + y2 – 2ax)2 = 4a (x2 + y2) або r = 2a (1 + cos φ), a = 2. |
6. Конхоїда Нікомеда або |
7. Конхоїда Нікомеда або |
8. Лемниската Бернуллі (x2 + y2)2 – 2a2(x2 – y2) = 0 або r2 = 2a2 cos 2φ, a = 2. |
9. Равлик Паскаля (x2 + y2 – 2Rx)2 – l2(x2 + y2) = 0 або r = 2R cos φ + a, 2R = l. l = 2, R = 1. |
10. Равлик Паскаля (x2 + y2 – 2Rx)2 – l2(x2 + y2) = 0 або r = 2R cos φ + l, 4R > l. l = 6, R = 4. |
11. Овал Кассіні
або |
12. Овал Кассіні або |
13. Овал Кассіні або |
14. Астроїда x2 / 3 + y2 / 3 = a2 / 3, a = 4 або x = a cos3t; y= a sin3t. |
15. Троянда r = a sin mφ, m = 3, a = 4. |
16. Троянда r = a sin2mφ, m = 2, a = 4. |
17. Троянда r = a sin mφ, m = 7 / 3, a = 4. |
18. Синусоїдальна спіраль rm = am cos mφ, m = 1 / 2, a = 9.
|
19. Синусоїдальна спіраль rm = am cos mφ, m = 2, a = 3. |
20. Синусоїдальна спіраль rm = am cos mφ, m = –2, a = 4. |
21. Синусоїдальна спіраль rm = am cos mφ, m = 4, a = 3. |
22. Синусоїдальна спіраль rm = am cos mφ, m = 6 / 7, a = 5.
|
Приклади трансцендентних кривих
| |
23. Архімедова спіраль r = aφ, a = 2 |
24. Гіперболічна спіраль
|
25. Логарифмічна спіраль r = aekφ, a = 2, k = 0,2. |
26. Жезл
|
Приклади циклоїдальних кривих
| |
27. Циклоїда
|
28. Циклоїда
|
29. Циклоїда
|
30. Гіпоциклоїда |
31. Епіциклоїда |
32. Епіциклоїда |
33. Епітрохоїда |
34. Епітрохоїда |
35. Гіпотрохоїда |
36. Гіпотрохоїда |