Масса материальной системы и ее центр масс
• Массой системы
называется сумма масс всех ее точек . M mK
• Центром масс системы называется точка, радиус-вектор которой
rC mK rK M
• Координаты центра
масс системы (точки С)
xC |
mK xK |
yC |
mK yK |
zC |
mK zK |
|
M |
|
M |
|
M |
Количество движения материальной точки и
материальной системы
•Количеством движения точки называется вектор, равный произведению массы точки на вектор ее скорости.
•Количеством движения системы называется сумма количеств движения всех точек системы.
•Количество движения системы равно количеству движения центра масс при условии, что в центре масс сосредоточена вся масса системы
q mV
Qc MVc M drc dt
Теорема об изменении количества движения
•Вычислим производную по времени от количества движения системы
•Производная по времени от количества движения системы равна сумме всех внешних сил, приложенных к точкам системы
•закон сохранения проекции вектора количества
движения системы
d |
|
|
|
|
dQx |
Fkxe |
|
Q |
|
|
|
||||
Fke |
|||||||
dt |
|
||||||
|
|
|
dt |
||||
Fke 0
dQdt 0
Q const Q0
Теорема о движении центра масс
|
|
|
|
M |
d |
rc |
и |
d |
Q |
|
|
|
|
|
Qc MVc |
Fke |
|||||||||||
|
dt |
dt |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
После подстановки |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Mac Fke ; Macx Fkxe ; Macy Fkye ; Macz Fkze ,
•Центр масс системы движется как свободная материальная точка, в которой как бы сосредоточена вся масса системы и к которой как бы приложены все внешние силы, действующие на систему.
Груз А массой т1 и груз В массой тг соединены нитью, переброшенной через невесомый блок С, ось которого скреплена с тумбой Д массой т. Тумба может скользить без трения по горизонтальной плоскости. На какое расстояние переместится тумба, если груз А опустится на высоту h
?
Решение. Система состоит из трех подвижных тел и все тела двигаются поступательно. На систему тел действуют внешние силы: тяжести , а также результирующие нормальной реакции поверхности
. Для решения используем теорему об изменении количества движения системы:
dQx F |
Fkxe ; |
||
n |
|
|
|
dt i 1 |
|
|
|
n |
|
|
Qx M xc 0; xc const xcv |
F |
|
|
|
Fkxe 0;Qx const 0 |
|||
i 1 |
|
|
|
По условию задачи (все внешние силы вертикальны, вначале система неподвижна, тумба Д массой т перемещается по горизонтальной плоскости).
Выполняется закон сохранения проекции центра масс системы на ось Ох:
3 |
|
|
|
|
|
mk хk |
|
3 |
3 |
хc |
k 1 |
хco ; |
mk хk mk хkv |
|
3 |
||||
|
mk |
|
k 1 |
k 1 |
|
|
|
||
k1
Спомощью этой зависимости составим выражение:
m1 x10 m2 x20 m x0
m1 (x10 sпер ) m2 (x20 sотн sпер ) m(x0 sпер ),
где s отн = h–относительного движения грузов; s призм = s пер – переносное перемещение тумбы
Окончательно найдем:
m1 ( sпер ) m2 ( sотн sпер ) m( sпер ) 0 :
sпер |
m2 |
sотн |
||
m m |
2 |
m |
||
1 |
|
|
||
Тумба может скользить без трения по горизонтальной плоскости на расстояние, в противоположную сторону, указанное на схеме:
m2
sпер m1 m2 m h