Глава 2. Прямая на плоскости

§1. Уравнение прямой на плоскости, проходящей через заданную точку и перпендикулярной заданному вектору

Определение.

Уравнением с двумя неизвестными называется выражение вида

.

Например

.

Определим понятие решения уравнения рассмотренного вида.

Определение.

Решением уравнения

называется упорядоченная пара чисел такая, что при подстановке первого элемента пары (числа) вместои второго (числа) вместо, получаем верное числовое равенство

.

Например, пара чисел является решением уравнения

так как

есть верное числовое равенство.

Далее будем считать, что на плоскости задана Декартова система координат. Введем понятие уравнения кривой на плоскости.

Определение.

Пусть на плоскости имеется кривая (при этом прямая тоже называется кривой). Уравнение называется уравнением данной кривой если:

1) координаты любой точки, лежащей на кривой, являются решением уравнения, т.е.есть верное числовое равенство;

2) если пара чисел есть решение уравнения, т.е.есть верное числовое равенство, то точкалежит на кривой.

Ниже рассматривается уравнение прямой на плоскости, проходящей через заданную точку и перпендикулярную заданному вектору.

Теорема.

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку и перпендикулярной заданному вектору(нормаль к прямой) имеет вид

.

Доказательство.

Из элементарной геометрии известно, что на плоскости через заданную точку можно провести единственную прямую, перпендикулярную заданному вектору.

Рис. 34.

Докажем, что уравнение этой прямой имеет вид

.

Пусть - произвольная точка прямой, отличная от точки. Покажем, что ее координаты удовлетворяют уравнению

,

то есть, что пара чисел есть решение этого уравнения. Из рисунка 18 видно, чтои значит. Векторимеет координаты

.

Следовательно, векторное равенство

С учетом выражения скалярного произведения через координаты запишется в виде

,

то есть это выражение есть верное числовое равенство. Но тогда пара чисел есть решение уравнения

,

так как при подстановке вместо ив это уравнение чисели, соответственно, получаем верное числовое равенство. Верное числовое равенство также получается при подстановке пары чисел(это проверяется непосредственно). Итак, координаты любой точки прямой являются решением этого уравнения. Докажем теперь обратное утверждение о том, что если пара чиселесть решение уравнения

,

то точка лежит на прямой. Доказательство будем проводить от противного. Допустим, что точкане лежит на прямой (см. рисунок 35).

Рис.35 .

Тогда вектор не лежит на прямой и не параллелен прямой. Следовательно, векторне перпендикулярен вектору. Но тогда

(условие неперпендикулярности двух векторов). В координатах это неравенство принимает вид

.

Это означает, что пара чисел не есть решение уравнения

.

Получили противоречие, так как по предположению пара чисел есть решение этого уравнения. Следовательно, верным является утверждение, что точкалежит на прямой. Теорема доказана.

Рассмотрим пример.

Пример.

Записать уравнение прямой, проходящей через точку и перпендикулярной вектору.

Решение.

Согласно доказанной выше теореме, уравнение имеет вид

или

.

Если в рассмотренном выше уравнении прямой

раскрыть скобки, то уравнение примет вид

.

Введя обозначение

,

получим уравнение в виде

.

Покажем, что уравнение любой прямой можно записать в таком виде и, наоборот, что уравнение такого вида есть уравнение некоторой прямой на плоскости. Утверждение формулируем в виде теоремы.

Теорема 8.

Уравнение любой прямой на плоскости можно записать в виде

,

где хотя бы одно и чисел иотлично от нуля, а векторперпендикулярен прямой (нормаль к прямой); и наоборот, уравнение вида

,

где хотя бы одно из чисел иотлично от нуля, есть уравнение какой-то прямой на плоскости, причем векторперпендикулярен этой прямой.

Доказательство.

Пусть на плоскости имеется прямая. Из элементарной геометрии известно, что существует точка , лежащая на прямой и существует ненулевой вектор, перпендикулярный этой прямой ( так как вектор ненулевой, то хотя бы одно из чиселиотлично от нуля). Но тогда, как было показано выше, уравнение прямой имеет вид

.

Раскрывая скобки, получим

.

Обозначим . Тогда уравнение примет вид

,

причем вектор перпендикулярен прямой (нормаль к прямой) и хотя бы одно из чиселиотлично от нуля. Следовательно, уравнение любой прямой на плоскости можно записать в виде

,

причем вектор отличен от нуля.

Теперь докажем что уравнение вида

,

где хотя бы одно из чисел иотлично от нуля, есть уравнение какой-то прямой. Пусть, например,. Пусть- произвольное число. Положим

(так как , тосуществует). Непосредственной подстановкой в уравнение нетрудно убедиться, что пара чиселявляется решением рассматриваемого уравнения. Следовательно выражение

есть верное числовое равенство. Тогда уравнение

или, что то же самое

эквивалентно исходному уравнению

.

Но, как было показано выше, уравнение

есть уравнение прямой, проходящей через точку и перпендикулярной вектору. Следовательно, эквивалентное ему уравнение

также является уравнением этой же прямой.

Итак, доказано, что уравнение любой прямой на плоскости можно записать в виде

,

где - нормаль к прямой и наоборот, уравнение вида

,

где хотя бы одно из чисел иотлично от нуля, есть уравнение какой-то прямой на плоскости, причем векторперпендикулярен этой прямой. Уравнение прямой, записанное в таком виде, называется общим уравнением прямой.