Глава 4. Прямая в пространстве

§1. Общие уравнения прямой в пространстве

Как известно из элементарной геометрии, прямую в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей. Пусть в пространстве имеется прямая . Возьмем точку, не лежащую на прямой. Тогда через прямую и точкуможно провести плоскость и притом только одну. Возьмем еще одну току, не лежащую на прямой и отличную от точки. Тогда через прямую и точкуможно провести единственную плоскость. Плоскостиипересекаются по прямой(Рис. 18).

Рис. 33.

Пусть плоскости иимеют уравнения:

Рассмотрим какую-нибудь точку лежащую на прямой. Тогда она одновременно принадлежит и плоскостии плоскостии следовательно тройка чиселявляется одновременно решением как уравнения (1), так и уравнения (2), то есть является решением системы уравнений

(3)

Обратно, пусть тройка чисел является решением системы (3). Покажем, что в этом случае точкалежит на прямой. В самом деле, точкапринадлежит плоскоститак как тройка чиселесть решение уравнения (1). Одновременно точкапринадлежит плоскоститак как тройка чиселесть решение уравнения (2). Следовательно, точкалежит на прямойтак как она является общей для плоскостейи.

Таким образом, мы получили, что если точка лежит на прямой, то тройка чиселявляется решением системы уравнений (3). И обратно, если тройка чиселявляется решением этой системы уравнений, то точкалежит на прямой.

В этом случае говорят, что система уравнений (3) является системой уравнений прямой в пространстве. Говорят также, что уравнения системы (3) являются общими уравнениями прямой в пространстве.

Произвольная система уравнений вида (3) будет системой уравнений какой-то прямой в пространстве при условии, что плоскости и, определяемые соответственно первым и вторым уравнением, не совпадают и не параллельны. Условия параллельности и совпадения плоскостей были получены выше.

§2. Параметрические и канонические уравнения прямой в пространстве

Из элементарной геометрии известно, что через заданную точку в пространстве можно провести единственную прямую, коллинеарную заданному вектору. Ненулевой коллинеарный прямой вектор называется направляющим вектором прямой. Выведем уравнения прямой, заданной этими условиями.

Итак, пусть прямая проходит через точку и коллинеарна вектору(Рис.18).

Рис. 34.

Возьмем на прямой еще одну точку . Тогда векторколлинеарен векторуи значит существует числотакое, что выполняется равенство (условие коллинеарности векторов

.

Из этого векторного равенства следует, что одновременно верны следующие числовые равенства для координат этих векторов

(4)

А это означает, что четверка чисел является решением системы уравнений

Или

(5)

Непосредственной подстановкой легко убедиться, что четверка чисел также является решением этой системы уравнений. Итак, какова бы ни была точка , лежащая на прямой, найдется числотакое, что четверка чиселявляется решением системы уравнений (5). Можно также доказать (аналогично тому, как это было доказано для прямой на плоскости), что если четверка чиселявляется решением системы (5) то точкалежит на прямой. Уравнения системы (5) называются параметрическими уравнениями прямой.

Пример.

Записать параметрические уравнения прямой, проходящей через точку и коллинеарной вектору.

Решение.

.

Снова вернемся к ситуации, когда прямая проходит через точку , коллинеарна векторуи на прямой взята еще одна точка, не совпадающая с точкой. Тогда, как показано выше, существует числотакое, что одновременно верны равенства

Пусть, кроме того, ни одна из координат вектора не равна нулю, то есть. Тогда систему равенств можно записать в виде

.

Из этой системы верных равенств следует, что одновременно верны равенства

.

Каждое из этих трех равенств является следствием двух других. Поэтому достаточно рассмотреть, например, систему равенств

.

Но если эти равенства верные, то тройка чисел является решением системы уравнений

(6)

Непосредственной подстановкой легко убедиться, что этой системе уравнений удовлетворяет также тройка чисел . Таким образом, еслиесть произвольная точка прямой и одновременно, то тройка чиселявляется решением системы уравнений (6). Можно показать (аналогично тому, как это сделано для прямой на плоскости), что если тройка числеесть решение системы (6), то точкалежит на прямой. Таким образом, система уравнений (6) есть система уравнений прямой в пространстве. Вместо системы уравнений (6) можно записать эквивалентную ей систему, например,

.

Эти системы принято записывать в виде двойного равенства

,

из которых следует любая из эквивалентных систем. Уравнения прямой, записанные в таком виде, называются каноническими уравнениями прямой в пространстве.

Пример.

Прямая проходит через точку и коллинеарна вектору. Записать каноническое уравнение прямой.

Решение.

.

Замечание.

При выводе уравнения прямой в каноническом виде предполагалось, что ни одна из координат направляющего вектора не равна нулю, так как в противном случае в знаменателе канонических уравнений прямой появятся нули и уравнение не будет иметь смысла. Тем не менее, если одна или две координаты вектора(но не все три) равны нулю, то условно применяют запись того же вида, что и при не равных нулю всех координат вектора. Такая запись также называется каноническими уравнениями прямой. Рассмотрим пример.

Пример.

Прямая проходит через точку и имеет направляющий вектор. Тогда выражение

называют каноническими уравнениями прямой. Смысл этого уравнения состоит в том, что по виду этого уравнения мы можем определить точку, через которую проходит прямая и направляющий вектор прямой. После этого можно записать параметрические уравнения прямой и от них перейти к общим уравнениям прямой. Пусть, например, канонические уравнения прямой заданы в условном виде

.

По уравнениям находим, что точка, через которую проходит прямая, есть , а направляющий вектор равен. Следовательно, параметрические уравнения прямой имеют вид

.

Или

.

Тогда общими уравнениями прямой будет система уравнений

,

При этом может принимать любые значения. Сама прямая в этом случае параллельна оси.