мет.указ. к.р. №1-2 мат анализ
.pdfФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА федеральное образовательное учреждение высшего
профессионального образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ» (МИИТ)
Одобрено кафедрой «Высшая и прикладная математика»
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Задания на контрольные работы № 1 – 2 для студентов I курса
высшего профессионального образования по направлению подготовки 080100.62 Экономика
(квалификация (степень) «бакалавр»)
РОАТ Москва – 2012
Составитель – проф. В.Б.Карпухин, доц. В.Н.Алексеев, ст. пр. А.Ю.Шора
Рецензент – с.н.с. В.В.Ридель
© Московский государственный университет путей сообщения, 2012
ПРЕДИСЛОВИЕ
Всоответствии с учебным планом студенты заочной формы обучения по направлению подготовки 080100.62 «Экономика» (квалификация (степень) «бакалавр») изучают дисциплину «Математический анализ» на I курсе. Содержание учебного материала определяют требования по математике Федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования. Эти требования сформулированы
врабочей программе дисциплины «Математический анализ» в виде конкретного перечня вопросов по изучаемым темам.
Каждая контрольная работа выполняется после освоения соответствующего учебного материала рабочей программы.
Втаблице указаны номера задач, которые студент должен решить при выполнении контрольных работ 1 – 2 по варианту, номер которого совпадает с последней цифрой учебного шифра студента. Задания представлены на трех уровнях сложности I, II, III. Выбор уровня сложности устанавливается преподавателем.
Вучебном процессе изучения дисциплины «Математический анализ» предусмотрен следующий порядок подготовки контрольной работы к зачету. Правильно выполненную и оформленную контрольную работу студент представляет преподавателю на проверку и собеседование по содержанию контрольной работы и замечаниям преподавателя. По результатам проверки и собеседования преподаватель, при необходимости, предлагает студенту выполнить работу над замечаниями и дает заключение о допуске или не допуске контрольной работы к зачету: «Контрольная работа (к.р.) №… допущена к зачету» или «Контрольная работа (к.р.) №… не допущена к зачету». Работу над замечаниями студент выполняет письменно в разделе «Работа над замечаниями» после заключения преподавателя в той же тетради, что и контрольную работу. После прохождения процедуры
проверки, собеседования и выполнения работы над замечаниями студент
сдает зачет по допущенной к зачету контрольной работе.
|
|
|
Контрольная работа №1 |
|
|
||||
Вариант |
|
|
|
Задания №. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
01 |
1 |
11 |
21 |
31 |
41 |
51 |
61 |
71 |
81 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
02 |
2 |
12 |
22 |
32 |
42 |
52 |
62 |
72 |
82 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
03 |
3 |
13 |
23 |
33 |
43 |
53 |
63 |
73 |
83 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
04 |
4 |
14 |
24 |
34 |
44 |
54 |
64 |
74 |
84 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
05 |
5 |
15 |
25 |
35 |
45 |
55 |
65 |
75 |
85 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
06 |
6 |
16 |
26 |
36 |
46 |
56 |
66 |
76 |
86 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
07 |
7 |
17 |
27 |
37 |
47 |
57 |
67 |
77 |
87 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
08 |
8 |
18 |
28 |
38 |
48 |
58 |
68 |
78 |
88 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
09 |
9 |
19 |
29 |
39 |
49 |
59 |
69 |
79 |
89 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
60 |
70 |
80 |
90 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Контрольная работа №2 |
|
|
||||
Вариант |
|
|
|
Задания №. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
01 |
91 |
101 |
111 |
121 |
131 |
141 |
151 |
161 |
171 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
02 |
92 |
102 |
112 |
122 |
132 |
142 |
152 |
162 |
172 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
03 |
93 |
103 |
113 |
123 |
133 |
143 |
153 |
163 |
173 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
04 |
94 |
104 |
114 |
124 |
134 |
144 |
154 |
164 |
174 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
05 |
95 |
105 |
115 |
125 |
135 |
145 |
155 |
165 |
175 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
06 |
96 |
106 |
116 |
126 |
136 |
146 |
156 |
166 |
176 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
07 |
97 |
107 |
117 |
127 |
137 |
147 |
157 |
167 |
177 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
08 |
98 |
108 |
118 |
128 |
138 |
148 |
158 |
168 |
178 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
09 |
99 |
109 |
119 |
129 |
139 |
149 |
159 |
169 |
179 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
100 |
110 |
120 |
130 |
140 |
150 |
160 |
170 |
180 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
190 |
200 |
210 |
220 |
230 |
240 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Студент должен помнить, что для приобретения опыта математического мышления и овладения избранной специальностью, для которой математические знания являются базовыми, от него требуется систематическая и упорная самостоятельная работа.
ЗАДАНИЯ НА КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ №1 – 2
КОНТРОЛЬНА РАБОТА №1
Для выполнения контрольной работы №1 студент должен освоить
следующие темы рабочей программы:
I.Введение в математический анализ: элементы теории множеств, функции одной переменной, пределы;
II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. III. Применение дифференциального исчисления для исследования
функций и построения их графиков.
ЗАДАЧА 1
1 – 10. Даны множества А и В. Найти объединение, пересечение и разность множеств А и В.
Уровень I
|
А = {1, 5, 9, 12} |
|
А = {3, -2, 4, 8} |
А = {0, -3, 7, 11} |
||
1. |
B = {0, 7, 9, 12, 17} |
2. |
|
3. |
|
|
|
B = {4, 5, 9, -2, 17} |
B = {2, 0, 11, -2, 12} |
||||
|
B = {-8, 7, 0, 5, 9} |
|
B = {14, 6, 2, -2, 4} |
B = {8, -3, 4, 6, 5} |
||
4. |
|
|
5. |
|
6. |
|
|
А = {1, 5, 9, 0} |
|
А = {2, 3, 5, 6} |
А = {6, 8, 1, 0} |
||
|
B = {-8, 7, 0, 5} |
|
B = {8, 3, 0, 6} |
B = {4, 3, 11, 9} |
||
7. |
А = {3, 5, 6, 0} |
|
8. |
|
9. |
|
|
|
А = {-3, 6, 7, 0} |
А = {-3, 7, 6, 5} |
|||
10. |
B = {2, 3, 4, -3, 8} |
|
|
|
|
|
А = {9, 0, 7, -4} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уровень II |
|
|
|
|
|
|
|
А = {2, +∞} |
А = {5, +∞} |
А = {4, +∞} |
А = {7, +∞} |
||
1. |
2. |
B = {–∞ , 6} |
3. |
|
4. |
|
|
B = {–∞ , 3} |
B = {–∞ , 4} |
B = {–∞ , 7} |
|||
|
А = {-7, +∞} |
А = {-2, +∞} |
А = {-3, +∞} |
А = {1, +∞} |
||
5. |
6. |
B = {–∞ , -3} |
7. |
|
8. |
|
|
B = {–∞ , -7} |
B = {–∞ , -2} |
B = {–∞ , 9} |
|||
9. |
А = {-1, +∞} 10. |
А = {-9, +∞} |
|
|
|
|
B = {–∞ , 9} |
B = {–∞ , 1} |
Уровень III
Доказать тождество с помощью:
а) Определения равенства множеств и операций над множествами; б) Диаграммы Эйлера – Венна.
1.А\ (B C) = (A \ B)∩ (A\ C)
2.А∩ (B (A∩C)) = (A∩ B) (A∩C)
3.А (B ∩ (A C)) = (A B) ∩ (A C)
4.А∩ (B C) = (A∩ B) (A∩C)
5.А (B ∩C) = (A B) ∩ (A C)
6.А\ B = A\ (A∩ B)
7.А (B C) = (A B) C
8.А∩ (B ∩C) = (A∩ B) ∩C
9.А∩ (B C) = (A∩ B) (A∩C)
10.(А \ B) \ C = (A\ C) \ B
ЗАДАЧА 2
11 – 20. Построить графики функций методом преобразования элементарных
функций.
Уровень I
11. |
y = x2 + 2 |
12. |
y = cos x −1 |
13. |
y = |
1 |
− 2 |
14. |
y = x + 4 |
15. |
y = sin x +1 |
|
x |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
16. |
y = ex + 4 |
17. |
y = ln x − 2 |
18. |
y = 2x −1 |
19. |
y = tgx −1 |
20. |
y = ctgx +1 |
|||
Уровень II
11. |
y = (x −1)2 + 2 |
12. |
y = cos2x −1 |
13. |
y = |
1 |
|
− 2 |
14. |
y = 3x + 4 |
||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 2 |
|
|
|
|||
15. |
y = sin 2x +1 |
16. |
y = |
|
1 |
|
+ 2 |
17. |
y = −5x +1 |
18. |
y = (x + 2)2 − 2 |
|||||||
x − 3 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
19. |
y = tg3x −1 |
20. |
y = ctg2x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Уровень III |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
11. |
y = (3x −1)2 + 2 |
12. |
y = −cos2x −1 13. |
y = |
1 |
− 2 |
14. |
y = −e2x + 4 |
||||||||||
2x + 2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
15. |
y = −sin 2x +1 |
16. |
y = |
1 |
|
+ 2 |
17. |
y = −ln 2x − 2 |
18. |
y = (3x + 2)2 − 2 |
||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2x − 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
19. |
y = −2tg3x −1 |
20. |
y = −2ctg2x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ЗАДАЧА 3
21 – 30. Найти предел числовой последовательности при n→∞ .
Уровень I
21. |
n |
22. |
− |
n |
23. |
1+ |
1 |
24. |
−1+ |
1 |
|
n + 2 |
n + 2 |
n |
2n |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
25. |
1+ |
|
|
26. |
|
|
|||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
29. |
1+ |
|
|
|
30. |
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
|
Уровень II
2n |
27. |
1− 3n |
28. 1+ 2n |
||
|
|
||||
n +1 |
|||||
|
|
|
|||
−1+ n
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(−1)n n |
21. |
|
n + 2 − |
|
n − 2 |
22. |
|
n − 3 − n + 3 |
23. |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
n − 2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
|
1 n |
|
(−1)n n |
|||||
24. |
−1+ |
− |
|
|
25. |
1+ |
− |
|
|
|
26. |
|
||||||
2 |
|
|
n +1 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
27. |
n2 |
+1− n |
28. |
1+ |
− |
|
|
29. |
n2 + 2 − n2 −1 |
|||||
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30. |
n2 |
− n + 4 − |
n2 + n −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Уровень III
21 – 25. Дана последовательность xn , n = 0, 1, 2,… Определить номер члена последовательности n, начиная с которого величина xn станет и будет оставаться меньше данного положительного числа ξ.
21. x = |
1 |
; |
22. x = |
1 |
; 23. x |
= |
1 |
; |
|
24. x |
= |
1 |
; |
25. x = |
1 |
. |
|||||
|
|
n |
|
|
|
||||||||||||||||
n |
n |
n |
2 |
n |
4 |
n |
|
|
|
n |
5 |
n |
n |
6 |
n |
||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
26 – 30. Дана последовательность x |
|
= |
1 |
|
, n = 0, 1, 2,… Определить номер |
||||||||||||||||
|
2n |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
члена последовательности n, начиная с которого величина xn |
станет и будет |
||||||||||||||||||||
оставаться меньше: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
26. 0,001; |
|
27. 0,01; |
|
|
28. 0,1; |
29. 0,0001; |
30. 0,00001. |
|
|
|
|||||||||||
ЗАДАЧА 4
31 – 40. Найти предел последовательности, используя эквивалентности бесконечно малой и бесконечно большой величины.
Уровень I
|
|
sin an |
|
|
|
sin2 4an |
|
|
sin |
an |
|
|
|
|
|
|
4 |
n |
||||||||||||||
31. |
lim |
|
32. |
lim |
33. |
|
|
|
34. |
lim |
+ |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
3an |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
n |
|||||||||||||||
|
an →0 |
|
|
|
|
|
|
an →0 |
|
|
n |
|
|
|
|
an |
|
n→∞ |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an →0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
35. |
lim |
(1+ 2n)n |
|
36. |
lim |
(1− 2n)n |
37. |
lim 1− 3 |
n |
limsin 4an |
||||||||||||||||||||||
|
38. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an |
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
n |
|
an →0 |
|
|
|
||||||
39. |
lim |
sin2 an |
n |
40. |
|
|
+ |
1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
lim |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
a |
2 |
|
|
|
4n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
an →0 |
|
n |
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Уровень II
31. |
lim |
1 |
|
|
|
|
32. |
lim |
1− cosan |
|
33. |
|
n |
|
n |
||||||||||||
anctgan |
2 |
|
|
|
lim |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
an →0 |
|
|
an →0 |
|
|
2an |
|
|
|
|
|
n→∞ n −1 |
||||||||||||||
34. |
lim |
|
|
sin 2an |
|
35. |
|
n |
n |
36. |
|
− |
3 n+1 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
lim 1 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
an + 2 − 2 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
an →0 |
|
|
|
|
n→∞ |
n +1 |
|
|
n→∞ |
|
2n |
|||||||||||||||
37. |
|
n −1 |
n |
38. |
lim |
|
|
sin3an |
39. |
n + 2 2n |
|||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
an + 3 − 3 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
n→∞ |
n +1 |
|
|
|
an →0 |
|
|
|
n→∞ n |
|
|
|
||||||||||||||
n
40.lim n − 2 3
nn→∞
Уровень III
31. |
lim |
tgan −sin an |
|
32. |
lim |
1− cos2an |
|
33. |
lim |
3n +1 |
3n |
|||||||||||||
|
|
|
3 |
|
2an sin an |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
an →0 |
|
|
3an |
|
an →0 |
|
n→∞ |
3n −1 |
|
||||||||||||||
|
|
3n + 4n |
|
|
limn(ln n − ln(n + 3)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
1−an |
||||||||||
34. |
lim |
35. |
36. |
lim |
(1− 2an ) an |
|||||||||||||||||||
|
n |
− 4 |
n |
|||||||||||||||||||||
|
3 |
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an →0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
37. |
limn(ln(n + 2) − ln n) |
38. |
lim |
1− cosan |
39. |
lim |
2n −3n |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2an 1+ an −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
n |
n |
|
|
|||||||||||||||||||
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an →0 |
|
n→∞ |
|
+ 3 |
|
|
|
||||||||
40. |
lim |
|
2n +1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2n − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
n→∞ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ЗАДАЧА 5
41-50. Найти пределы заданных функций.
Уровень I
lim x3 + 2
41. а) x→0 7x +8
limsin 2x
42. а) x→0 |
; |
lim 2x + 3
43. а) x→−1 x3 − 4 ;
|
|
x2 |
−3x |
|
|
2 |
|
|
|
||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
; б) x→0 |
x |
; |
в) x→∞ x2 +1 . |
||||||||||||
|
|
5x2 + 3x |
|
|
4 |
|
|
||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ x . |
||||||
б) x→∞ 2x |
; |
в) x→∞ 2x2 |
|||||||||||||
lim |
|
2x |
|
|
lim |
5 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
б) x→∞ 2x2 −11x ; |
в) x→0 3x . |
|
|
|
|||||||||||
lim |
x + 4 |
|
lim |
x3 |
+ 3x2 |
lim |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
+ x . |
||||
44. а) x→2 2x −1 ; |
б) x→0 |
4x2 |
; в) x→0 x2 |
||||||