мет.указ. к.р. №1-2 мат анализ
.pdf45.а)
46.а)
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sin x + cos x |
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4x2 − x |
4 |
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lim |
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lim |
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lim |
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− cos x ; |
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x→π /2 sin x |
б) x→∞ |
x |
; в) x→∞ 8x −1. |
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lim |
tgx |
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x |
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21 |
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||||||
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lim |
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lim |
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x→π /4 ctgx ; б) |
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x→∞ 2x2 − x |
; в) |
x→0 4x . |
47.а)
48.а)
49.а)
50.а)
lim |
|
x2 |
+ 5 |
|
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|
x2 +1 ; |
|||||
x→2 |
||||||
lim |
|
x2 |
+12 |
|
||
x2 |
+ 2 |
|
||||
x→−2 |
|
lim |
sin xcos x |
|||||
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|||||
x→π /3 |
tg |
x |
|
|
||
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|||
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|
2 |
|
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lim |
x2 |
− 2x +1 |
||||
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||
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+ 2x +1 |
|||||
x→4 x2 |
lim |
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2x |
lim |
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3 |
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||||
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б) x→0 3x2 + 4x ; в) x→∞ 8x3 + 3 . |
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lim |
3x2 + x |
lim |
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3x |
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|||||
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+ x2 . |
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; б) x→0 |
|
x |
; в) x→0 x3 |
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lim |
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x3 − 3x2 |
lim |
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2x |
||||||||||
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||||||||
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||||||||
; б) x→0 |
|
−4x2 |
; в) x→∞ x3 − x2 . |
|||||||||||||
lim |
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|
3x |
|
lim |
sin x |
|
; б) x→∞ x2 + x ; в) x→0 2x .
Уровень II
41. |
а)lim |
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14x2 −3 |
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, |
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б) lim |
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x3 +1 |
, в)lim |
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2x2 − 2x + 4 |
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. |
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+8x + 7 |
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x→∞ 3x2 |
+ x + 4 |
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x→−1 x2 |
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x→4 5 |
− x − |
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x − |
3 |
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1− x2 |
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42. |
а)lim |
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, |
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б) lim |
3x2 +11x +10 |
, в)lim |
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1+ x − |
|
1− x |
. |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→∞ 3x2 + x +1 |
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x→−2 2x2 +5x + 2 |
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x→0 |
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5x |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
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43. |
а)lim |
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1− x2 |
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, |
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б) lim |
3x2 +11x +10 |
, в)lim |
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1+ x − 1− x |
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. |
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+ x +1 |
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x→∞ 3x2 |
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x→−2 2x2 +5x + |
2 |
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x→0 |
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5x |
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44. |
а)lim |
|
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1− x2 |
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, |
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|
б) lim |
|
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|
x2 |
+ x − 2 |
, в) lim |
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4+ x |
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|
. |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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+ x +1 |
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+ 2x −3 |
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x→∞ 3x2 |
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x→1 x2 |
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x→−4 1−6x −5 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
45. |
а)lim |
4−3x − x2 |
|
|
, б) lim |
x2 − 4x +3 |
, в)lim |
|
|
|
|
|
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x2 − |
2x −3 |
. |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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x→∞ 4x2 + 3x −1 |
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x→1 x2 + x − 2 |
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x→3 2x +1− x + 4 |
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|||||||||||||||||||
46. |
а)lim |
4− x +5x3 |
, |
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|
б) |
lim |
|
|
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|
|
x2 − 2x −3 |
|
. |
|
в) |
|
lim |
3− x + 9 |
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
+ x2 − x3 |
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x→∞ 2 |
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x→3 2x +1− |
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x + 4 |
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|
x→0 |
|
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|
x +1−1 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
47. |
а)lim |
4x2 |
+ 4x −3 |
, |
б) |
lim |
|
|
x2 − 2x |
|
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|
, |
|
в)lim |
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x −1− 2 |
. |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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+3x + 4 |
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|
x −5 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→∞ 5x2 |
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x→2 x2 − 4x + |
4 |
|
|
x→5 |
|
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||||||||||||||||||
48. |
а)lim |
7x2 |
− 4x + 2 |
, |
б) |
lim |
|
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x2 − 2x |
|
|
|
|
|
, |
|
в)lim |
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x +1−1 |
. |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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− 2x +5x2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
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x→∞ 3 |
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x→2 x2 − 4x + |
4 |
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x→0 |
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|
2x |
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49. |
а) lim |
|
x2 |
− x +1 |
, |
б) |
lim |
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|
x2 − 2x |
|
|
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, |
в)lim |
|
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|
x +1−1 |
. |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||
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x→∞ 7x2 + x − 2 |
|
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x→2 x2 − 4x + 4 |
|
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x→0 |
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|
2x |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
50. |
а)lim |
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4−7x2 |
|
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, б) |
lim |
|
|
|
x2 − 2x |
|
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|
, |
в)lim |
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|
x +1−1 |
. |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
− 4x + |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→∞ 3x2 |
5 |
|
|
|
x→2 x2 − 4x + |
4 |
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
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|
Уровень III
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x3 − 64 |
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|
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|
|
xsin x |
|
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||||||||||||||||||||
lim(x − |
x(x −1)) |
|
lim |
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|
|
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|
|
lim |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
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||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
− 7x +12 |
|
|
|
|
; |
|
|
в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
41. а) x→∞ |
|
; |
б) x→4 |
x |
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|
x→0 1− cos2x . |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
x2 − 4 |
|
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|
|
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|
|
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|
sin(x − 3) |
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|||||||||||||||||||
lim( |
x +1− x −1) |
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lim |
|
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|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
lim |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
; |
|
б) |
|
x |
3 |
− 2x |
2 |
+ x − 2 |
; |
|
|
в) |
|
|
|
x |
2 |
− 9 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
42. а) x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→2 |
|
|
|
|
|
|
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|
|
x→3 |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
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1 |
|
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|
− |
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|
8 |
|
|
|
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|
|
|
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|
|
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|
sin2 (x − 2) |
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|||||||||||||||||||||
lim(x − |
x2 −1) |
|
lim( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
lim |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
− x |
2 |
; |
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
− 4x |
+ 4 . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
43. а) x→∞ |
|
; |
|
б) x→−4 |
|
|
x + 4 |
16 |
|
|
|
в) x→2 |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
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|
1 |
|
|
− |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
1− cos x − tg2 x |
|
|||||||||||||||||||||||||||
lim( |
4x2 +1 − 2x) |
|
|
lim( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
lim |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) |
|
x |
− |
3 |
x |
2 |
|
|
− |
9 |
; в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xsin x |
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
44. а) x→∞ |
|
; |
x→3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 − 3x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin(x −1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
lim( |
x2 + 5x − x) |
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
б) |
|
|
x |
4 |
|
− 4x + 3 |
|
|
|
|
; |
|
|
x |
3 |
−1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
45. а) x→∞ |
|
; |
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
lim( |
x(x +1) − x) |
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) |
|
|
|
x −1 |
; |
|
|
|
|
в) |
4sin |
2 |
|
|
x |
|
sin |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
46. а) x→∞ |
|
; |
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2x . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
1+ x −1 |
|
|
|
|
|
|
lim( |
cos x |
− ctg2 x) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim( |
x2 − 3x +1 − x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
; |
|
б) |
3 |
|
1+ x −1 |
|
; |
в) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
47. а) x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1 |
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
sin2 x |
|
|
|
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 9 − 3 |
|
||||||||||||||||||||
lim( |
x2 + x +1− x2 − x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
; |
|
|
|
|
|
б) |
|
3 |
|
|
x − 4 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
sin 6x . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
48. а) x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→64 |
|
|
|
|
в) x→∞ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 − x2 − x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tgx − sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim( |
x2 +1 − x) |
|
lim |
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
x |
3 |
|
+ x |
2 |
− x |
−1 |
|
; |
в) |
|
|
|
|
sin |
3 |
x . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
49. а) x→∞ |
|
; |
б) x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
lim |
|
x −8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
lim( |
9x2 + 2 − 3x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
б) |
|
3 |
|
; |
|
|
|
|
в) |
|
1− cos x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
50. а) x→∞ |
|
; |
x→8 |
|
|
|
|
|
|
|
x − 2 |
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАЧА 6
51 – 60. Исследовать функцию на непрерывность. Найти точки разрыва и определить их характер. Построить график функции.
Уровень I
51. |
f (x) = |
1 |
|
|
||
x −1 |
||||||
|
|
|||||
53. |
f (x) = − |
3 |
|
|||
x |
||||||
|
|
|
52. |
f (x) = |
|
1 |
|
|
|
x +1 |
||||
|
|
|
|||
54. |
f (x) = |
2 |
|
||
|
x − 4 |
||||
|
|
|
|
55. |
f (x) = tgx |
56. |
||
57. |
f (x) = tg2x |
58. |
||
59. |
f (x) = |
2 |
60. |
|
x + 2 |
||||
|
|
|
f(x) = ctgx
f(x) = ctg2x
f (x) = − 2 x − 2
Уровень II
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x |
2 |
, |
|
||
|
−х, |
х <1, |
|
|
|
|
х < −2, |
|||||||
|
|
2 |
|
|||||||||||
51. |
|
|
х |
2 |
, |
1≤ х ≤ 2, |
52. |
|
+1, |
−2 ≤ х ≤ 0, |
||||
f (x) = |
|
|
f (x) = x |
|||||||||||
|
3х − 2, |
х > 2. |
|
1− х, |
х ≥ 0. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х −1, |
х < 0, |
|
1+ 2х, х < −1, |
||||||||||
53. |
|
х |
2 |
−1, 0 ≤ х ≤1, |
54. |
|
|
|
х, |
−1≤ х ≤1, |
||||
f (x) = |
|
f (x) = |
|
|
||||||||||
|
1− х, |
х >1. |
|
2 / х, |
х >1. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х2 , |
х < −1, |
|
1/ х, |
х ≤ −1, |
||||||||
55. |
|
|
|
|
|
−1≤ х ≤1, |
56. |
|
−х , |
−1< х ≤1, |
||||
f (x) = х + 2, |
f (x) = |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
х >1. |
|
|
|
|
|
|
х >1. |
|
|
2х, |
|
|
|
2 / x, |
|||||||||
|
2 − х2 |
, х < 0, |
|
|
х2 +1, |
х ≤ 0, |
||||||||
57. |
|
|
|
|
|
|
58. |
|
|
|
|
|
0 < х < 2, |
|
f (x) = −х + 2,0 ≤ х ≤ 2, |
f (x) = 1− 2х, |
|||||||||||||
|
|
х, |
|
|
х > 2. |
|
х − 2, |
х ≥ 2. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− х, |
х <1, |
|
х +1, |
х < −1, |
|||||||||
59. |
|
|
2х, |
1≤ х ≤ 2, |
60. |
|
|
2 |
−1,−1≤ х ≤ 2, |
|||||
f (x) = |
|
f (x) = х |
|
|||||||||||
|
8 |
− х2 , |
х > 2. |
|
2х, |
|
х > 2. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уровень III
51. |
f (x) = |
|
|
|
x |
|
52. |
f (x) = |
|
|
1 |
|
|
|||
|
x |
2 |
− 9 |
x − x2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
53. |
f (x) = |
|
|
|
1 |
|
|
54. |
f (x) = |
|
|
x +1 |
||||
|
(x −1)(x − 2) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x2 |
− 5x + 6 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
55. |
f (x) = |
x2 |
− 36 |
56. |
f (x) = |
x − 2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
x3 −1 |
|||||||||||
|
|
|
|
x − 6 |
|
|
||||||||||
57. |
f (x) = |
|
|
|
x |
58. |
1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = e |
x+1 |
|
|||||||
|
2 |
− x − 2 |
||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
59. f (x) = 2x−1 |
60. f (x) = x2 |
−1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
x |
− 4 |
ЗАДАЧА 7
61 – 70. Найти производные заданных функций.
Уровень I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
61. |
а) |
y = 3x2 + 5x − |
x |
б) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
62. |
а) |
y = 2x5 − 3x3 − 2 x + 4 |
б) |
||||||||||
63. |
а) |
y = 2sin x + 3cos x |
б) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
64. |
а) |
y = 3x2 + 5x − |
x |
б) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
65. |
а) |
y = 2ex + arcsin x + x |
б) |
||||||||||
66. |
а) |
y = tgx − 2ctgx |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
67. |
а) |
y = 4x3 + 2x2 + |
|
x −1 |
б) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
68. |
а) |
y = x6 + x5 − x + 2 |
б) |
||||||||||
69. |
а) |
y = 3ctgx + 2tgx |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
70. |
а) |
y = x5 + 6x2 − 2 |
|
x + 3 |
б) |
y = sin x +1 cos x −1
y = tgx ctgx
y = 2x2 + x x +1
y= cos x +1 sin x −1
y= arcsin x arccos x
y= ex + 4 2ln x
y= 4x +1 4ln x
y= 2x2 +1 2x
y= 2ex − 4 3cos x
y= x3 +1 ln x
в)
в)
в)
в)
в)
в)
в)
в)
в)
в)
y= x2 ln x
y= x3ex
y= 4x2 3x
y= 2ex arccos x
y= 5x x
y= 3ex arcsin x
y= 2ex a rctgx
y= 3sin xln x
y= 2cos xln x
y= sin xcos x +1
Уровень II
61. |
а) |
y = arcsin3x − 1− 9x2 |
б) |
||
|
|
|
|
|
|
62. |
а) |
y = 2 х |
б) |
y= 1+ x2 x
y= 1+ sin3x
1− sin3x
в)
в)
х= а cost,
у= b sint.
х= ln(1+ t2 ),
у= t2.
63. а) у = х3 е3х
64. а) у = 1+ ех
65. а) у = е2х sin x
66. а) y = (х +1)arctgx
67. а) y = ex cos3x
68. а) у = х2 ln(x2 +1)
69. а) y = (x +1) x2 +1
70. а) |
у = cos2x − |
1 |
cos3 2x |
|
|||
|
3 |
|
Уровень III
б)
б)
б)
б)
б)
у= 31+ ln2 x
у= sin2 x cos x
у= arctg3x
y= 1− x
1+ x
y= ln2 (x3 +1)
в)
в)
в)
в)
в)
х=1− cos2t,
у= 2 + sin 2t.
х= 1 t2 ,
2
у= 1 t3 + t. 2
х= 1,
t
у= t −1. t
х= ln(cost),
у= sin2 t.
х= 1t3 + 1 t2 +1,
32
у= 1 t2 + 1. 2 t
б)
б)
б)
у= 4tg2x
у= еsin2 x
у= (х2 + 4) е− х2
в)
в)
в)
х= еt2 ,
у= t et2 .
х= lnt,
у= t + 1. t
х= 1 t2 + t, 2
у= 1t3 − t. 3
61.а)
62.а)
63.а)
64.а)
65.а)
66.а)
67.а)
y= arcsin ln x
y= tg3 (x2 +1)
y= sin3 x
x +1
y= arccos x + 2
y= ln(sin5x)
y= arcsin(tg3x)
y= 5arcsin x
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
y= sin2 x ex
y= esin5x
y= arctg(cos2x)
y= sin(ln5x)
y= sin(e3x )
y= arctgsin x
y= ln(tg5x)
в)
в)
в)
в)
в)
в)
в)
y = ln(x + x2 +1)
y = 5ex2 sin 2x
y = 5tg3x
y = 2ctg2 5x
y = |
1 |
|
|
||
sin3 2x |
||
|
y= cos(ln3x)
y= ecos5x
68. |
а) |
y = ln(sin3x) |
б) |
y = |
|
cos5x |
|
в) |
|
+ sin 2x |
|||||||
|
|
|
|
1 |
|
|||
69. |
а) |
y = arcsin(e3x ) |
б) |
y = cos(ln5x) |
в) |
|||
70. |
а) |
y = ln3 (sin 2x) |
б) |
y = esin2 x |
в) |
ЗАДАЧА 8
71 – 80. Уровень I
y= arctg(sin 5x)
y= ln(tgx)
y= sin e5x
Для заданной функции построить график и проиллюстрировать геометрический смысл дифференциала в точке значение в этой точке.
y= x2 +1,
71.x0 =1.
y= −x2 −1,
75.x0 = 2.
y= −x2 + 2,
79.x0 =1.
72. |
y = x2 −1, |
73. |
y = x2 , |
74. |
||
x |
= −1. |
x |
=1. |
|||
|
0 |
|
|
0 |
|
|
76. |
y = −x2 +1, |
77. |
y = x2 + 2, |
78. |
||
x |
= −2. |
x |
= 2. |
|||
|
0 |
|
|
0 |
|
|
y= −x2 − 2,
80.x0 = −1.
y= −x2 , x0 = −1.
y= x2 − 2, x0 = −2.
71 – 80. Уровень II |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
||||||||||||
|
|
Вычислить |
приближенно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n x , |
|
заменяя |
приращение |
функции ее |
||||||||||||||||||||||||||||||
дифференциалом. |
|
|
|
|
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|
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|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
71. 3 130.72. |
130. |
73. |
4 250. |
74. |
200. |
75. |
3 220. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
76. |
|
|
|
77. |
|
|
|
78. |
|
|
|
79. |
|
|
|
|
80. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
4 620. |
260. |
3 120. |
|
4 250. |
|
1000. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
71 – 80. Уровень III |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
Заменяя полное приращение функции её дифференциалом, вычислить |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
приближённое значение выражения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
71. |
a rctg1,05 |
72. |
|
|
cos59° |
|
|
73. |
|
sin31° |
74. |
|
a rctg0,98 |
75. |
tg44° |
|||||||||||||||||||||||
76. |
sin 61° |
|
77. |
|
|
arcsin 0,54 |
78. |
|
|
cos121° |
79. |
|
sin149° |
80. |
tg47° |
ЗАДАЧА 9
81 – 90. Заданные функции исследовать методами дифференциального
исчисления. Построить графики функций.
Уровень I
81. |
y = 3x + 2x |
2 |
+ |
1 |
|
x |
3 |
82. |
y = x2 − |
x3 |
||||
|
3 |
|
3 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
83. |
y = 6x2 + 2x3 |
|
|
|
|
84. |
y = 2x4 − 4x2 +1 |
|||||||
85. |
y = 8x − |
x4 |
|
|
|
|
|
|
86. |
y = x3 − |
x4 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
87. |
y = 36x(x −1)3 |
|
|
|
|
88. |
y = (x2 |
−1)3 |
||||||
89. |
y = x(x − 2)2 |
|
|
|
|
|
90. |
y = (x2 |
− 2)2 |
Уровень II |
|
|||||||||
81. |
а) |
у = 3x + 2x2 + |
1 |
x3 |
б) |
|||||
|
||||||||||
|
|
3 |
|
|||||||
82. |
а) |
у = х2 − |
|
х3 |
|
|
б) |
|||
|
|
|||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||
83. |
а) |
y = 6x2 + 2x3 |
б) |
|||||||
84. |
а) |
у = 2х4 − 4х2 +1 |
б) |
|||||||
85. |
а) |
у = 8х − |
х4 |
|
б) |
|||||
|
||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|||
86. |
а) |
у = х3 − |
х4 |
|
б) |
|||||
|
||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|||
87. |
а) |
у = 36х(х −1)3 |
б) |
|||||||
88. |
а) |
у = (х2 −1)3 |
б) |
|||||||
89. |
а) |
у = х(х − 2)2 |
б) |
х
у= х2 − 4
у= 1+ х2
1− х2
у= х2 −1
х
у= х2 + 4
х
у = х + |
|
2 |
|
|
||||
х −1 |
||||||||
|
|
|
||||||
у = |
|
х3 |
|
|
|
|
||
|
− х2 |
|||||||
9 |
||||||||
у = 2х + |
8 |
|
|
|||||
х − 3 |
||||||||
|
|
|
|
|||||
у = х + |
|
х |
|
|||||
3х −1 |
||||||||
|
|
|
у= 1 х2 + 1 3 3х
90. а) у = (х2 − 2)2 |
б) |
у = |
|
х3 |
|
|
х +1) |
2 |
|||
|
|
2( |
|
Уровень III |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
81. |
а) |
y = |
1 |
|
+ x |
б) |
||||||||
x2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
82. |
а) |
y = xln x |
б) |
|||||||||||
83. |
а) |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|||
y = e |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
84. |
а) |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
б) |
||
y = 2 |
x−1 |
|
|
|
|
|
||||||||
85. |
а) |
y = |
1+ ln x |
б) |
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
||||||
86. |
а) |
у = х3 − |
х4 |
|
б) |
|||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
||||
87. |
а) |
y = |
x −1 |
|
б) |
|||||||||
x2 − 4 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
88. |
а) |
y = |
|
|
x3 |
|
б) |
|||||||
x |
2 −1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
89. |
а) |
y = |
x2 |
−1 |
б) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x |
2 |
+1 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
90. |
а) |
y = |
x2 |
+1 |
|
|
б) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x
y = ln x x
y= xe−x2
y= x2 +1 x −1
y= x2e−x2
y= x2 x2 − 9
у = |
|
х3 |
|
− х2 |
|
9 |
y= xe−x
y= (x −1)2 x2 +1
y= ln x x2
y= x2 ln x
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №2
Для выполнения контрольной работы №2 студент должен освоить следующие темы рабочей программы:
IV. Неопределенный интеграл.
V.Определенный интеграл.
VI. Функции нескольких переменных.
VII. Ряды.
VIII. Обыкновенные дифференциальные и разностные уравнения.
ЗАДАЧА 1
91 – 100. Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить
дифференцированием.
Уровень I
|
|
∫(x5 + 6x2 − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
91. |
а) |
|
|
|
x + 3)dx |
б) |
||||||||||||||||
|
|
∫(4x3 + 2x2 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
92. |
а) |
|
|
|
x −1)dx |
б) |
||||||||||||||||
|
|
∫(x6 + x5 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
93. |
а) |
|
x + 2)dx |
б) |
||||||||||||||||||
94. |
а) |
∫(3x2 + |
4 |
+ cos x +1)dx |
б) |
|||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
95. |
а) |
∫(4x5 + ex |
+ |
|
|
|
|
|
3 |
|
)dx |
б) |
||||||||||
x |
2 |
+ 4 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
96. |
а) |
∫(2x3 + 5x |
+ 5)dx |
|
|
|
|
|
б) |
|||||||||||||
97. |
а) |
∫(3ex + |
2 |
|
|
+ |
2 |
|
|
+1)dx |
б) |
|||||||||||
cos x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|||||||||||||
98. |
а) |
∫(x2 + 2x + 4 + sin x)dx |
б) |
|||||||||||||||||||
|
|
∫(2ex + |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||
99. |
а) |
|
|
x + |
|
|
|
|
|
)dx |
б) |
|||||||||||
|
|
|
x |
2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 9 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
∫(3sin x + 2cos x − 4 |
|
+1)dx |
|
|||||||||||||||||
100. |
а) |
x |
б) |
xdx
∫4x2 +1
xdx
∫(x2 +1)2
∫2x2 + 3
∫4xxdx2 + 4
∫sin xcos xdx
∫− lnxx dxxdx
∫x2 − 4
∫2sin2 xcos xdx
∫sin xcos2 xdx
∫ln2xdxxxdx
Уровень II
в)
в)
в)
в)
в)
в)
в)
в)
в)
в)
∫2xcos xdx
∫3xsin xdx
∫(5x + 6)cos xdx
∫−2xexdx
∫xln(x −1)dx
∫(6x + 5)sin xdx
∫12 xexdx
∫x2 ln xdx
∫(3x +1)exdx
∫3x2exdx
91.а)
92.а)
93.а)
94.а)
95.а)
∫x(x +1)(x + 2)dx
∫(x +1)(x − х +1)dx
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
x − x3ex |
+ x2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫(1− 3 |
|
|
||||||||
x2 )3 dx |
||||||||||
∫ |
|
1− x 2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
dx |
|
|
||||
|
x |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
∫ |
xdx |
в) |
∫xcos3xdx |
||||||||||
|
|
|
|
|
dx |
|||||||||
x2 − 5 |
||||||||||||||
б) ∫ |
3х2dx |
|
в) ∫x 2 |
− х |
dx |
|||||||||
1+ x6 |
|
|||||||||||||
б) |
∫ |
|
|
|
dx |
в) |
∫x3 ln xdx |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
5x − 2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
б) |
∫ |
|
|
x + ln x |
dx |
в) |
∫x2 ln xdx |
|||||||
|
|
x |
||||||||||||
б) |
∫х7х2 dx |
в) |
∫arccos2xdx |
|
|
|
2 |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
96. |
а) |
∫ |
х |
2 |
dx |
|
б) |
∫ |
|
dx |
|
|
|
в) |
∫arctg2xdx |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
3 |
2 |
|
|
|
|
x +1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
97. |
а) |
∫ |
(1+ 2х |
3 |
) |
2 |
dx |
б) |
∫ |
|
xdx |
|
|
|
в) |
∫ |
xdx |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
2x |
2 |
+ 3 |
|
|
|
e |
x |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
98. |
а) |
∫ |
(1+ х)2 |
dx |
б) |
∫ |
ехdx |
|
|
|
|
в) |
∫ |
хе |
−2х |
dx |
|||||||||||||||
х х |
|
1+ e2x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
99. |
а) |
∫ |
(х − х2 )2 |
dx |
б) |
∫ |
|
хdx |
|
|
|
в) |
∫хsinхcos xdx |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ х2 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
100. |
а) |
∫2х ехdx |
|
|
|
|
б) |
∫ |
arctg(x |
/ 2) |
dx |
в) |
∫хsin3xdx |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уровень III |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
91. |
а) |
∫ |
ln3 x |
dx |
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
92. |
а) |
∫ |
|
1+ tgx |
|
dx |
|||||||||
2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
cos x |
||||||||||||
93. |
а) |
∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(1+ x2 )arctg2 x |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
94. |
а) |
∫ |
|
1+ ln x |
dx |
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|||||||||
95. |
а) |
∫ |
arcsin x − |
|
|
|
x |
dx |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
1− x2 |
||||||||||
96. |
а) |
∫ |
cos xdx |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1+ sin x |
||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
97. |
а) |
∫ |
|
cos2x |
dx |
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|
|
|
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|
|
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sin xcos x |
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98. |
а) |
∫ |
|
|
|
dx |
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|
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x(1+ ln x) |
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99. |
а) |
∫ |
cos x |
dx |
|||||||||||
4 |
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|
|
sin |
|
x |
||||||||||
100. |
а) |
∫2x2 |
xdx |
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
∫xe2xdx
∫x ln xdx
xdx
∫cos2 x
∫lnx2x dx
∫ln2 xdx
∫exx dx
∫arctgxdx
∫lnxxdx
∫xarctg(x2 +1)dx
lntgx
∫cos2 xdx
в)
в)
в)
в)
в)
в)
в)
в)
в)
в)
x2 +1
∫ x2 + x dx
x +1
∫ x2 − 4 dx
dx ∫ x2 − x
dx
∫(x −1)(x − 3)
xdx
∫ x2 + 7x +12
dx
∫ x2 + x − 2
x −1
∫ x2 − 5x + 6dx ∫(xxdx−1)2
dx
∫ x2 − 3x + 2
dx
∫ x2 − 7x +10
г)
г)
г)
г)
г)
г)
г)
г)
г)
г)
∫2 + 3cosdx x
∫1+ sindx 2 x
∫1+ 3cosdx 2 x
∫1+dxtgx
∫1+ sin x
∫sindx2x
1+ tgx
∫sin 2xdx
∫sin2 xcos4 xdx
∫3+dxcos x
1+ tg2 x
∫1− tg2 xdxsin xdx
ЗАДАЧА 2
101 – 110. Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями.
Сделать чертёж.