2.3. Сводка правил для вычисления производной.

В школьном курсе математики рассматривались следующие формулы, ис­пользуемые при вычислении производных функции одной переменной. Все эти формулы необходимо запомнить.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12. ;

13. ,

14. ,.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

2.4. Частные производные и полный дифференциал числовой функции нескольких переменных.

Рассмотрим теперь функцию двух переменных . Выберем в области определения произвольную точкуи зафиксируем ее. Дадим сначала первой переменнойточке приращениеи образуем новую точку –. Вычислим приращение функции

. (2.4.1)

Такое приращение называется частным приращением по переменной . Составим отношение приращений (2.4.1.) к приращению аргумента. Если существует предел этого отношения при, то этот предел называетсячастной производной числовой функции двух переменных по и обозначается

. (2.4.2)

Следует отметить, что в отличие от производной функции одной переменной, выражение не отношение дифференциалов а единый слитный символ.

Из определения частной производной по видно, что все правила дифференцирования сохраняются и при этом переменнаяи выражения зависящие только отсчитаются константами.

Применим к соотношению (2.4.2) теорему о связи величины, имеющей конечный предел с бесконечно малой величиной (Теорема 1, раздел 1.8)

(2.4.3)

Умножим равенство (2.4.3) на

. (2.4.4)

В правой части формулы (2.4.4) два слагаемых. Первое является линейным относительно и более крупным – это главная часть БМВ. Второе – нелинейно и является БМВ более высокого порядка малости, чем первое. Формулу (2.4.4) можно переписать в виде

(2.4.5)

Главная и линейная часть формулы (2.4.5) обозначается

, (2.4.6)

и называется частным дифференциалом числовой функции двух переменных по .

Дадим теперь второй переменной точке приращениеи образуем еще одну новую точку –. Повторяя описанную выше процедуру, получим

, (2.4.7)

второе частное приращение функции по , вторую частную производную функции по

, (2.4.8)

и второй частный дифференциал по

, (2.4.9)

Из определения частной производной по видно, что все правила дифференцирования сохраняются и при этом переменнаяи выражения, зависящие только отсчитаются константами.

Сумма двух частных дифференциалов образует полный дифференциал

(2.4.10)

Применим формулу (2.4.10) для функции

.

Таким образом, для независимой переменной получаем

.

Применение формулы (2.4.10) для функции дает

.

Таким образом, для независимой переменной получаем

.

Формула (2.4.10) принимает симметричный вид

. (2.4.11)

Помимо частных приращений функции существует еще и полное приращение функции, когда приращения получают одновременно оба аргумента

(2.4.12)

Можно показать, что полное приращение функции и полный дифференциал связаны между собой соотношением

(2.4.13)

Сформулируем без доказательства две теоремы о дифференцируемости числовых функций двух переменных.

Теорема 1. Если обе частные производные числовой функции двух переменных непрерывны в некоторой точке, то функция дифференцируема в этой точке.

Теорема 2. Всякая дифференцируемая в некоторой точке числовая функция двух переменных непрерывна в этой точке.

Пример.

Вычислить частные производные функции и полный дифференциал функции

.

Решение.

,

.